El functor de sección global de la gavilla abeliana sobre un espacio topológico de dimensión cero

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico de dimensión $0$ . Aprendo de cierto texto que reclama el functor $\Gamma(X,\;\cdot\;)$ da lugar a una equivalencia categórica entre la categoría de gavillas de grupos abelianos $\mathfrak{Ab}(X)$ y la categoría de grupo abeliano $\mathfrak{Ab}$ .

¿Explícitamente por qué? ¿Cuál será la inversa del functor $\Gamma(X,\;\cdot\;)$ ?

Gracias de antemano por su respuesta.

Answer 1

Basta con trabajar sobre componentes conectados (ya que el encolado es vacuo), y así el problema se reduce a $X=*$ el espacio de un punto. Las únicas láminas en un espacio de un punto son las láminas constantes. Así, la inversa de $\Gamma(*,\;\cdot\;)$ es la asignación que toma un grupo abeliano $A$ a la constante $A$ -de valor; es decir, $\mathcal{O}(U)=A$ para todos $U\subseteq*$ . Dado que la única inclusión no vacía en $*$ es $*$ sí mismo, $\mathcal{O}(*)=A$ determina efectivamente la gavilla.