Débil $L^p$ ¿convergencia para pasar al límite en la aproximación lineal a trozos de la función signo?

Question

Considere $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ que es una versión suavizada del $\mathrm{sign}$ función.

Supongamos que $u_n \to u$ débilmente en $L^p([0,1])$ para todos $p \in [1,\infty]$ como $n \to \infty$ . ¿Es cierto que $S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ débilmente en algunos $L^p$ ?

Answer 1

Supongamos que $\epsilon \le 1$ . En $[0,1]$ , dejemos que $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $ x en \a la izquierda[\tfrac{2j}{2n},\tfrac{2j+1}{2n}\a la derecha) $\\ 0 & if $ x en \left[\tfrac{2j+1}{2n},\tfrac{2j+2}{2n}\right) $. } $$ Entonces $u_n \rightharpoonup 2$ en $L^p([0,1])$ para $1 \le p < \infty$ pero $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$ .

No estoy seguro de $p = \infty$ pero dudo que este contraejemplo funcione.