Subcategorías de categorías abelianas generadas por un número finito de objetos

Question

¡Hola!

Estoy tratando de entender la estructura de la subcategoría abeliana más pequeña de una categoría abeliana que contiene un objeto $X$ y todos los endomorfismos de ese objeto (o más bien que contenga un número finito de objeto con todos los morfismos entre ellos, pero esto me parece lo mismo tomando sólo la suma). Tomar simplemente la intersección sobre todas las subcategorías que contienen mi objeto y los morfismos parece una mala idea, ya que las sumas, los núcleos, etc. se determinan simplemente hasta el isomorfismo. Sin embargo, no me preocupa tener "demasiados" objetos isomorfos en mi subcategoría. He tropezado con la noción de subcotientes. Dado que los núcleos, los cokernels son subcotientes y los subcotientes de los subcotientes son subcotientes, me parece que podría describir los objetos de mi subcategoría de la siguiente manera: Basta con tomar todos los objetos isomorfos a subcotientes de sumas directas finitas de $X$ . ¿Tiene esto sentido? Gracias.

Jonas

Answer 1

Es no es cierto, en general, que la subcategoría abeliana (me refiero a la categoría subabeliana) generada por un objeto $X$ son todos los subcocientes de las sumas finitas de $X$ . Está contenido en estos subcotientes, pero puede que no lo estén todos. Esto es así porque, por ejemplo, no todos los subobjetos de $X$ es el núcleo de un endomorfismo de $X$ (o más generalmente, un mapa de $X$ a una suma de copias de $X$ ).

Como ejemplo, consideremos la subcategoría abeliana de $\mathbb{Z}$ -módulos generados por $\mathbb{Q}$ . Porque cualquier $\mathbb{Z}$ -homorfismo de $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales es automáticamente $\mathbb{Q}$ -lineal, sólo se obtiene la dimensión finita $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales, y no obtienen, por ejemplo, el subgrupo $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Si $\mathcal{A}$ es alguna categoría abeliana y $S$ es un conjunto de objetos en $\mathcal{A}$ entonces su "cierre abeliano" $\overline{S}$ debe ser la subcategoría completa abeliana más pequeña de $\mathcal{A}$ que contiene $S$ tal que el functor de inclusión es exacto (en otras palabras, es una "categoría subabeliana" como la llama Qiaochu). Obsérvese que es automáticamente cerrada bajo isomorfismos (consideremos $0 \to A \cong A' \to 0$ ).

Siempre existe: Consideremos el conjunto de todas las subcategorías completas $T$ de $\mathcal{A}$ que contiene $S$ que también contienen $0$ y son cerradas con respecto a los núcleos, cokernels y sumas directas. Con esto quiero decir que si $f$ es algún morfismo entre objetos en $T$ entonces cada núcleo/núcleo de $f$ también se encuentra en $T$ (de forma similar con las sumas directas). Ahora toma su intersección.

Si se trabaja con clases en lugar de universos, esta intersección causará algunos problemas teóricos de conjuntos. Se pueden evitar de la siguiente manera, dando así otra construcción de $\underline{S}$ :

Definir subcategorías completas $S_{\alpha}$ para los ordinales $\alpha$ como sigue: Sea $S_{0} = S \cup \{0\}$ . En el paso límite, toma la unión. Si $S_{\alpha \omega + 3n}$ ya está definida, entonces se unen todos los núcleos de todos los morfismos en este conjunto y se optienen $S_{\alpha \omega + 3n+1}$ . Entonces, dejemos que $S_{\alpha \omega + 3n+2}$ sea el cierre bajo cokernels, y sea $S_{\alpha \omega + 3n+3}$ sea el cierre bajo sumas directas binarias. Por último, definamos $\overline{S} := \cup_{\alpha} S_{\alpha}$ .

En cuanto a un ejemplo concreto, $R$ es "abelianamente denso" en $\mathrm{Mod}_{fg}(R)$ cuando $R$ es noetheriano.