Minimizar la energía en el tratamiento de imágenes - Contornos activos geodésicos

Question

He leído algunos artículos sobre contornos activos geodésicos (procesamiento de imágenes), que utilizan la minimización de una energía, compuesta por energía interna y energía externa, por ejemplo, en el artículo de Kass (Snake: Active contour model - 1988), tenemos la siguiente fórmula

$$E_{snake} = \int_0^1 (E_{int}(v(s))+E_{image}(v(s))+E_{con}(v(s)))ds $$

con $v(s) = (x(s),y(s))$ y $E_{int} = \frac{1}{2}(\alpha(s)|v_s(s)|^2+\beta(s)|v_{ss}(s)|^2)$ . En el documento, tienen el primer término hace que la serpiente actúe como una membrana y el segundo término hace que actúe como una placa delgada. No sé cómo derivan la fórmula $E_{int}$ y, por lo tanto, el $E_{con}, E_{image}$ así. ¿Qué es y de dónde viene? ¿En la mecánica? o en otro campo relacionado? Gracias de antemano. Por favor, perdonadme si he tenido algún error gramatical.

Answer 1

Viene de una mecánica continua muy idealizada: la primera derivada al cuadrado es la energía elástica, la segunda derivada al cuadrado es la energía de flexión.

Para simplificar las cosas, consideraré la función escalar $x(s)$ ya que las contribuciones de ambos $x$ y $y$ componentes simplemente se suman en su fórmula. La longitud del gráfico $x(s)$ es $$ \int_0^1 \sqrt{1+(x'(s))^2}\,ds $$ que para valores pequeños de la derivada se puede aproximar por $$ \frac12 \int_0^1 (x'(s))^2\,ds \tag1 $$ La minimización de la funcional (1) entre curvas constreñidas a pasar por puntos dados crea una función lineal a trozos: es lo que obtenemos al tensar una cuerda elástica clavada en una pared en algunos puntos.

La energía de flexión, sea cual sea, debe depender de la curvatura de la gráfica. la curvatura está relacionada con la segunda derivada. Por lo tanto,
$$ \int_0^1 (x''(s))^2\,ds\to \min \tag2 $$ se convierte en un modelo idealizado de una cuerda que resiste la flexión. La minimización de (2) con las mismas condiciones que la anterior conduce a una gráfica agradablemente curvada, que pasa por los puntos dados sin giros bruscos (los giros bruscos significarían un cambio rápido de la primera derivada, y por lo tanto una gran segunda derivada).

(Ambas imágenes son de mi post Conectando puntos de forma natural .)