Creo que uno debe utilizar un tiempo que depende de la curva, para evitar la división por cero.
Ahora vamos a no ser $n > 1$ entidades persiguiendo el uno al otro en un círculo como el de la moda. Al principio serán colocadas en los vértices de un polígono regular con $n$ bordes.
Esto es simétrica a una rotación de $2π/n$. Por lo que el $n$ solución de caminos también será simétrica de esta manera. Deje que el centro de la rotación de ser el centro de un sistema de coordenadas Cartesianas. Elegir una sola entidad y el nombre de su camino a $φ: ℝ \ni t ↦ φ(t) \in ℝ^2$ coordenadas polares $α: ℝ → ℝ$ $r: ℝ → ℝ$ tal que $φ = r(\cos α, \sin α)$.
El centro, la posición de la entidad, $φ(t)$, y la posición de la siguiente entidad, $φ(t)$ girado por $2π/n$ (es decir $R_nφ(t)$), forman un triángulo isósceles. La entidad se está moviendo en la dirección de la $φ(t)$$R_nφ(t)$. Por lo que el ángulo entre los vectores $φ(t)$ $φ'(t)$ es
$$2π/n + \frac{π - 2π/n}{2} = π\frac{2/n + 1}{2} = π(\frac1n + \frac12)$$
Esto significa $$⟨φ', φ⟩ = ||φ'||\cdot||φ||\cos π(\frac1n+\frac12) ≕ ||φ'||\cdot||φ||\cdot C$$
donde $-1≤C<0$. Ahora $$2⟨φ', φ⟩ = ⟨φ, φ⟩' = (||φ||^2)' = 2||φ||\cdot||φ||'$$ so that $$ ||φ||' = C||φ'||$$ This velocity is assumed to be constant $||φ'|| ≕ v > 0$. Together with the above we get $r' = Cv$. So $r = r_0 + Cvt$. El uso de las coordenadas polares calculamos
$$φ' = r'(\cos α, \sin α) + rα'(-\sin α, \cos α)$$ The two summands of $φ'$ are orthogonal so $$v = ||φ'|| = -r' + rα' = -Cv + rα'$$ This in turn gives us $$α' = \frac{v(1+C)}{r} = \frac{v(1+C)}{r_0 + Cvt}$$ if $C > -1$, i.e. $n > 2$ $$α = \frac{v(1+C)}{Cv}\ln r = (\frac1C+1)\ln r\\r = \exp\left(\frac{α}{\frac1C+1}\right)$$ when we start at $α_0 = 0$. For $n=2$ we have $C=-1, α' = 0$ and $α$ es constante.
