Encontrar todas las series de Laurent de una función

Question

Tengo que encontrar todas las series de Laurent para la función

$$ f(z)=\frac{z}{(z+1)(z-2)} $$ sobre $z=0$

Estoy un poco confundido sobre las regiones con las que estoy tratando. Empecé con la descomposición de la fracción parcial: $$ f(z)=\frac{1}{3(z+1)}+\frac{2}{3(z-2)} $$

Saliendo de $z=0$ hay una serie de Taylor hasta $z=-1$ que supongo que funciona para ambas singularidades, es decir, para $|z|<1$ la serie Laurent es: $$\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^n-(\frac{1}{2})^n)z^n$$

¿Es correcto lo anterior? Si no es así, ¿cómo se puede encontrar el resto de la serie Laurent para $f(z)$ ? Lo que realmente necesito entender es cómo hay que ver las regiones porque me resulta muy confuso para este problema.

Gracias.

Answer 1

Como te decía @DanielFischer, las regiones a tener en cuenta son $(1)$ $\lvert z\rvert<1$ , $(2)$ $1<\lvert z\rvert < 2$ y $(3)$ $\lvert z\rvert >2$ . Para $(1)$ Su solución es correcta.

Para $(2)$ Queremos una serie geométrica con $\lvert r\rvert <1$ así que $1<\lvert z\rvert\Rightarrow \frac{1}{\lvert z\rvert} < 1$ y $\frac{\lvert z\rvert}{2}<1$ . Entonces \begin{align} \frac{1/3}{z+1}+\frac{2/3}{z-2} &=\frac{1}{z}\frac{1/3}{1+\frac{1}{z}}-\frac{1/3}{1-\frac{z}{2}}\\ &=\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^n-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^n\\ &=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\biggl[(-1)^n\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^{n+1}-\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^n\biggr] \end{align}

Para $(3)$ tenemos $\lvert z\rvert >2$ así que $\frac{1}{\lvert z\rvert} < 1$ que encontramos en $(2)$ y $\frac{2}{\lvert z\rvert}<1$ . Sólo tenemos que determinar la serie de Laurent para $\frac{2}{\lvert z\rvert}<1$ . \begin{align} \frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^n+\frac{2/3}{z-2}&=\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^n+\frac{1}{z}\frac{2/3}{1-\frac{2}{z}}\\ &=\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^n+\frac{2}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{2}{z}\Bigr)^n\\ &=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\biggl[\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^{n+1}+\Bigl(\frac{2}{z}\Bigr)^{n+1}\biggr] \end{align}