¿Qué tipo de línea representa esta ecuación?

Question

$x^2 – y^2 = -1$ . Sé que es una hipérbola, pero quiero saber para llegar a esta conclusión, (perdón por los símbolos pero no sé usar MathJax).

Answer 1

Reescribamos su ecuación como $$ (x+y)(x-y) = -1 $$ Si hacemos un cambio de coordenadas poniendo $$ z := \frac{x-y}{\sqrt 2}, \quad w := \frac{x+y}{\sqrt 2} $$ (piense en ello como una rotación del sistema de coordenadas por $45^°$ ), tenemos en nuestras nuevas coordenadas $$ wz = -2 \iff z = -\frac 2w, $$ que describe una hipérbola.