Un conjunto con medida exterior positiva

Question

Dejemos que $A$ sea un subconjunto de $\mathbb R$ tal que $m^*(A)>0$ . Quiero demostrar que existe $x,y\in A$ tal que $x-y\in \mathbb{R\setminus Q}$ .

Supongamos que para todo $x,y\in A, x-y\in \mathbb Q$ . Definimos $f:A\times A\to \mathbb Q$ por $f(x,y)=x-y$ para todos $x,y\in A$ . Puedo mostrar desde aquí que $A$ ¿es contable?

Answer 1

Supongamos que para todo $x,y\in A$ , $x-y\in \mathbb{Q}$ y supongamos $A$ es no vacía (de lo contrario, trivialmente $m^{*}(A)=0$ ), elija cualquier $x\in A$ entonces $A\subset x+\mathbb{Q}$ por lo tanto, a lo sumo contable.

Para una dimensión superior, véase Todas las distancias son racionales demuestran que el conjunto es contable