Determinar el orden de los polos bajo condición: $ N|z-a|^{-\frac{5}{2}}| \leq |f(z)| \leq M|z-a|^{-\frac{7}{2}}. $

Question

Dejemos que $f: D \Rightarrow \mathbb{C}$ sea analítico, donde $D$ es algún dominio. Sea $a$ sea una singularidad de $f$ .

Supongamos que hay un $r > 0$ y números positivos $M$ y $N$ tal que $$ N|z-a|^{-\frac{5}{2}}| \leq |f(z)| \leq M|z-a|^{-\frac{7}{2}}, $$ cuando $0 <|z-a|< r$ .

Ahora $a$ es un polo de $f$ desde $\lim_{z\to a} f(z) = \infty$ . El orden del polo es superior a 2, ya que $\lim_{z\to a} (z-a)^2f(z) = \infty$ . Es menor o igual a 4, ya que $\lim_{z\to a} (z-a)^4f(z) = 0$ .

Pero mi pregunta es ¿cómo podría determinar si el orden del polo es realmente 4, o en realidad 3?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $f$ tiene un polo de orden $d$ en $z=a$ entonces $ \lim_{z \to a} (z-a)^d f(z)$ existe y es $ \ne 0, \infty $ .

De sus estimaciones se deduce que $\frac 52 \le d \le \frac 72$ y eso deja sólo una opción posible para el número entero $d$ .