Demuestra que $\vec{a}.\vec{b}+\vec{c}.\vec{d}\neq\vec{a}.\vec{c}+\vec{b}.\vec{d}$

Question

Dejemos que $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ son cuatro vectores distintos que satisfacen $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{d}$ y $\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}\times\vec{d}$ Demuestra que $\vec{a}.\vec{b}+\vec{c}.\vec{d}\neq\vec{a}.\vec{c}+\vec{b}.\vec{d}$

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Desde $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{d}$ y $\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}\times\vec{d}$
Multiplicando el lado izquierdo de la primera ecuación por el lado izquierdo de la segunda ecuación y el lado derecho de la primera ecuación por el lado derecho de la segunda ecuación, obtenemos
$(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{a}\times\vec{c})=(\vec{c}\times\vec{d}).(\vec{b}\times\vec{d})$
$(\vec{a}.\vec{a})(\vec{b}.\vec{c})-(\vec{b}.\vec{a})(\vec{a}.\vec{c})=(\vec{c}.\vec{b})(\vec{d}.\vec{d})-(\vec{d}.\vec{b})(\vec{c}.\vec{b})$
Ahora estoy atascado y no puedo seguir adelante, por favor ayúdeme.

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EDITAR 1:
Según la pista dada por Michael en el comentario de abajo.Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ están todos en el mismo plano, perpendicular a $\vec{a}\times\vec{b}$
Que el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $\theta_1$ el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$ es $\theta_2$ el ángulo entre $\vec{c}$ y $\vec{d}$ es $\theta_3$ el ángulo entre $\vec{d}$ y $\vec{a}$ es $\theta_4$
$\vec{a}.\vec{b}+\vec{c}.\vec{d}=ab\cos\theta_1+cd\cos\theta_2.....(1)$
$\vec{a}.\vec{c}+\vec{b}.\vec{d}=ac\cos(\theta_1+\theta_2)+bd\cos(\theta_2+\theta_3).....(2)$
Pero no soy capaz de demostrar que son desiguales. ¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Como hay que demostrar que no es cierto, basta con un contraejemplo. He construido el siguiente contraejemplo utilizando el producto cruzado "más natural" entre vectores (he enlazado los cálculos realizados con WolframAlpha):

$$(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$$

Utilice $\color{red}{\vec{a}=(1,0,0)}$ , $\color{red}{\vec{b}=(0,1,0)}$ . Ahora, rotar de $\pi/4$ rad:

Y definir $\color{blue}{\vec{c}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)}$ y $\color{blue}{\vec{d}=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)}$ .

Tenemos $\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,1)=\vec{c}\times\vec{d}$ (ver aquí ). También tenemos la propiedad requerida $\vec{a}\times\vec{c}=(0,0,\sqrt{2}/2)$ y $\vec{b}\times\vec{d}=(0,0,\sqrt{2}/2)$ .

Pero lo hemos hecho:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{c}\cdot\vec{d}=0+0\neq \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d}=\sqrt{2}$$