Condición inicial para que una secuencia converja satisfaciendo una relación de recurrencia simple

Question

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia tal que $a_1 = r$ es un número real positivo y para cada $n=1, 2, 3, \ldots$ $a_{n+1} = \frac{a_n^2}{n!}$ . Obsérvese que hay un número positivo $\gamma$ para que $r<\gamma$ implica la convergencia de la secuencia y $r>\gamma$ implica la divergencia de la secuencia.

PREGUNTA 1. Determine qué ocurre si $r=\gamma$ .

PREGUNTA 2. Intenta encontrar algunas características del número $\gamma$ . Por ejemplo, ¿puede determinar si $\gamma$ ¿es racional o no?

Estaba haciendo un ejercicio en el que se pregunta si los alumnos pueden manejar el principio de inducción para demostrar algunas propiedades de la secuencia definida a través de una relación de recurrencia. Por ejemplo, si $r=2$ la secuencia anterior converge a cero y demostrarlo es un ejercicio fácil. Si $r=3$ La secuencia anterior diverge al infinito y demostrarlo es un ejercicio de dificultad media. Estos dos ejercicios se pueden hacer sin ninguna linealización.

Aunque estos ejercicios tienen éxito, poco después surgió una pregunta sobre la propiedad de $\gamma$ como se describe en lo anterior. He hecho algunos pequeños esfuerzos pero no consigo encontrar las respuestas.

Tómate tu tiempo. Esta pregunta no tiene mucha urgencia. He escrito este post sólo por curiosidad. En mi opinión, el número $\gamma$ no tienen ninguna importancia matemática y puede ser inútil responder a la tercera pregunta.

Para su comodidad, pongo algunas informaciones que he encontrado. Se puede encontrar fácilmente la expresión $$ a_n = \left( \frac{r}{\exp \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\ln k!}{2^k}} \right)^{2^{n-1}} $$ linealizando la relación tomando el logaritmo que afirma que la expresión para el número $$ \gamma = e^{\sum_{k=0}^\infty \frac{\ln k!}{2^k}} \approx 2.7612$$

Deseando que tenga un feliz día, muchas gracias por su atención.

Answer 1

¡Ya casi tienes la respuesta! (y gracias por formular la pregunta de forma tan útil) Fíjate que cuando $r=\gamma$ entonces su fórmula para $a_n$ da $$ \log a_n = 2^{n-1} \bigg( \log \gamma - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\ln k!}{2^k} \bigg) = 2^{n-1} \sum_{k=n}^\infty \frac{\ln k!}{2^k} > \frac12\ln n! $$ (ya que los términos son todos no negativos), que tiende a infinito con $n$ . Por lo tanto, $a_n$ diverge cuando $r=\gamma$ .

En cuanto a $\gamma$ se puede comprobar que la fórmula dada es equivalente a \begin{align*} \gamma = \prod_{k=2}^\infty (k!)^{1/2^k} &= \prod_{k=2}^\infty \prod_{j=2}^k j^{1/2^k} \\ &= \prod_{j=2}^k j^{\sum_{k=j}^\infty 1/2^k} = \prod_{j=2}^\infty j^{1/2^{j-1}} = 2^{1/2}3^{1/4}4^{1/8}5^{1/16}\dots. \end{align*} Imagino que se trata de un número trascendental (por tanto irracional), pero desde luego no es fácil de demostrar.