Sigo el informe técnico de C.Mira: " Mapas no invertibles: noción de área caótica frente a la de atractor extraño " para caracterizar el comportamiento de algunos sistemas dinámicos propios.
En el artículo mencionado, hay una definición de área de absorción como una región tal que las imágenes sucesivas de todos los puntos de una vecindad, a partir de un número finito de iteraciones, entran en ella y no pueden salir después de entrar. Por otro lado, una zona caótica es una "zona absorbente invariable, que contiene un conjunto fractal formado por ciclos de repulsión con período creciente... dando lugar a órbitas con la propiedad de sensibilidad a las condiciones iniciales".
El contexto y la pregunta : Tengo una familia de sistemas dinámicos no lineales de tiempo discreto (el mismo descrito en esta pregunta anterior ):
$$S_{D,t,f}=\left\{(x,y): (x_{n+1},y_{n+1}) = \left( \Im\left(\frac{1}{(x_{n} + y_n i+1)^{t}}\right)\sin{\frac{D}{f}}, \Re\left(\frac{1}{(x_{n} + y_n i+1)^{t}}\right)\cos{\frac{D}{f}} \right)\right\}$$
Normalmente, la mayoría de los sistemas de la familia llegan a una órbita periódica en relativamente pocas iteraciones (cientos o pocos miles). Pero algunos no. Este es uno de los que no llegan a un atractor, $S_{D=4, t=2, f=1}$ . Es parte de la región dentro del marco rojo (la foto muestra a toda la familia y $S_{D=4, t=2, f=1}$ es uno de los sistemas solamente, haga clic para ampliar):
En concreto $S_{D=4, t=2, f=1}$ independiente se visualiza de la siguiente manera para $n=64 \cdot 10^3$ , $n= 10^5$ y $n=2 \cdot 10^5$ iteraciones (haga clic para ampliar):
Mirando la imagen, parece tener tres simetrías: es fácil ver que el sistema genera algunos grupos de puntos en diferentes regiones del espacio y son similares, hay rotación e imágenes especulares dentro de las estructuras generadas por el sistema. Cuantas más iteraciones añado, más puntos se acumulan en esas zonas, por lo que tiendo a pensar que se trata de una zona de absorción y no es una zona caótica.
Mi razón principal es que no puedo ver "órbitas" en el sentido clásico de una "órbita" visual. Sólo veo conjuntos de puntos. Desgraciadamente, no llego a ningún conjunto periódico de puntos. Parece que la colección de puntos crece sin encontrar un sumidero, siempre alrededor de esos racimos de puntos. El resultado visual es que a medida que $n$ crecimientos, se hace más brillante debido a la acumulación de puntos.
Pregunta: ¿se puede decir que se trata de una zona caótica, o simplemente es una zona de absorción no caótica? o ¿hay algún otro concepto que exprese mejor este tipo de acumulación tipo clúster? Gracias.
