Encuentra el radio de curvatura en el origen

Question

Halla el radio de curvatura en el origen para la curva $3x^2+4y^2=2x$ .

A continuación, mi intento :

Sabemos que el radio de curvatura $\rho=\dfrac{{(1+y_1^2)}^{\frac{3}{2}}}{y_2}$ .

Informática $y_1$ en $(0,0)$ : Diferenciando obtenemos $3x+4y\frac{dy}{dx}=1\implies \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-3x}{4y}.$

¿Cómo puedo evaluar $\dfrac{dy}{dx}$ en el punto $(0,0)$ ?

Por favor, ayuda.

Answer 1

Observa que la gráfica de la ecuación $$3x^2 -2x +4y^2=0$$ es una elipse que pasa por el origen y es tangente al eje y, por tanto $dy/dx$ no existe. Utilizamos la diferenciación implícita para encontrar $ x'= dx/dy$ y $x''=d^2x/dy^2$ en el origen. Obtenemos $$6xx'-2x'+8y=0$$ y $$6(x')^2+6xx''-2x''+8=0$$ Ahora evaluamos $ x'$ y $x''$ en el origen utilizando los resultados anteriores. Obtenemos $x'=0$ y $x''=4.$ Por lo tanto, la curvatura en el origen es $$\kappa=\frac{|x''|}{(1+x'^{2})^{\frac{3}{2}}} =4.$$ Por lo tanto, el radio de curvatura en el origen es $$R=1/4$$

Answer 2

La curva es una elipse centrada en $\left(\frac13,0\right)$ . No se puede evaluar ${dy\over dx}$ en el origen porque la tangente allí es vertical, así que tendrás que probar otra cosa. Por ejemplo, podrías parametrizar la curva como $x(t) = \frac13(1-\cos t)$ , $y(t)=\frac1{2\sqrt{3}}\sin t$ y utilizar la fórmula $\kappa = {|x'y''-y'x''| \over (x'^2+y'^2)^{3/2}}$ para la curvatura. Tenemos $$x'(0) = 0, \; y'(0) = \frac1{2\sqrt{3}} \\ x''(t) = \frac13, \; y''(t) = 0 \\ x'y''-y'x'' = -{1\over 6\sqrt3} \\ x'^2+y'^2 = \frac1{12}$$ y así $\kappa = 4$ y el radio de curvatura es $\frac14$ .

Si no se encuentra la parametrización simple, también es posible calcular la curvatura a partir de las derivadas parciales de primer y segundo orden de $F(x,y)=3x^2+4y^2-2x$ . Si dejamos que $H(F)$ representan la matriz hessiana de $F$ y $T(F)$ sea la tangente unitaria $(-F_y,F_x) / \, \|\nabla F\|$ entonces $$\kappa = {|T(F)H(F)T(F)^T| \over \|\nabla F\|}.$$ Para este problema, tenemos $$\nabla F[0,0]=(-2,0) \\ T(F)[0,0] = (0,-1) \\ H(F)[0,0] = \operatorname{diag}(6,8)$$ así que $\kappa = 8/2 = 4$ como antes.

Answer 3

Si consideramos el diferencial $(6x-2)dx+8ydy$ , entonces en $(0,0)$ vemos $(6x-2) \neq 0$ . Por el teorema de la función implícita, podemos escribir $x$ en función de $y$ .

Completa el cuadrado: $$3x^2 -2x +4y^2=0$$ $$3(x-\frac{1}{3})^2+4y^2=\frac{1}{3}$$ De aquí sacamos: $$x(y)=\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{4}{3}y^2}$$ Dejemos que $r:(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ sea dada por $$r(y) =(x(y),y)$$

La curvatura viene dada por la fórmula general: $$\kappa=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac{3}{2}}}$$ Utilizando nuestra parametrización, tenemos: $$\kappa(y)=\frac{|\frac{d^2x}{dy^2}|}{(1+(\frac{dx}{dy})^2)^\frac{3}{2}}$$

Ahora $\frac{dx}{dy}=0$ cuando $y=0$ . Si calculamos $\frac{d^2 x}{dy^2}$ que tenemos: $$\frac{d^2 x}{dy^2}=y(junk)+\frac{4}{3}\bigg(\frac{1}{9}-(\frac{4}{3}y^2)\bigg)^\frac{-1}{2}$$ Evaluar en $y=0$ encontramos, $$\kappa(0)=4$$ . Así, $\rho= \frac{1}{\kappa}=\frac{1}{4}$

Answer 4

Desde entonces, $$\frac{dy}{dx}$$ no está definido aquí, es decir, el eje y es tangente a la curva. Nadie más arriba habla del método Newtoniano, así que me quedo con eso - dice que si la curva pasa por el origen y el eje y (o el eje x) es tangente a la curva, entonces el radio de curvatura en el origen = $$lim(x \rightarrow 0) \frac{y²}{2x}$$ Lo tenemos, $$3{x}^2 - 2x + 4{y}^2 = 0 $$ Dividiéndolo por 2x, $$\frac{3x}{2} - 1 + 4\frac{y^2}{2x} =0$$ Cuando x --> 0, $$ -1 + 4\rho = 0$$ $$ \rho = \frac{1}{4}$$