Un polinomio $x^2 + ax + b$ con tres raíces distintas módulo $4$

Question

Poner un ejemplo de polinomio $x^2 + ax + b \in R[x]$ , donde $R = \mathbb{Z}$ / $4\mathbb{Z}$ que tiene 3 raíces distintas en $R$ .

Mi pensamiento inmediato es que no existe tal polinomio porque el grado del polinomio es menor que el número de raíces que buscamos. ¿Es esto correcto o ingenuo?

Answer 1

En general sólo podemos concluir que el número de raíces de un polinomio no nulo $p$ sobre un anillo $R$ es $\leq \deg p$ cuando $R$ es un campo.

Ejemplo Tenemos $x^3 = x \bmod 6$ para todos $x$ modulo $6$ por lo que el polinomio (cúbico) $x^3 - x$ tiene $6$ raíces en $\Bbb Z / 6 \Bbb Z$ .

Ahora, $\Bbb Z / 4 \Bbb Z$ contiene un divisor cero, a saber, $[2]$ por lo que no es un campo. Dicho esto, una búsqueda exhaustiva muestra que ningún polinomio $x^2 + a x + b$ modulo $4$ tiene $\geq 3$ raíces distintas pero hay dos polinomios de este tipo, a saber $x^2$ y $x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2$ con dos raíces de multiplicidad dos cada una, y por tanto multiplicidad total mayor que el grado del polinomio. Existe un único polinomio cuadrático con $> 2$ raíces distintas módulo $4$ a saber, $2 x^2 + 2 x = 2 (x + 1) x$ .