Prueba $\frac{1}{\sqrt{2}}=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2!2^4}-\frac{3!!}{3!2^6}-\frac{5!!}{4!2^8}-\cdots$

Question

¿Cómo puedo demostrar
$$\frac{1}{\sqrt{2}}=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2!2^4}-\frac{3!!}{3!2^6}-\frac{5!!}{4!2^8}-\cdots$$ Quería demostrarlo utilizando la serie de Taylor de $\sqrt{2}$ pero no pude hacerlo.

Answer 1

Como señaló Lucian, podemos escribir

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{1/2}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)\cdots(\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}\cdot\frac{(-1)^k}{2^k}$

$\displaystyle=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1(-1)(-3)(-5)\cdots(-(2k-1))}{k!2^k}\cdot\frac{(-1)^k}{2^k}=1-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{k!2^{2k}}$

Answer 2

Tenemos que demostrarlo: $$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{4}-\sum_{n\geq 1}\frac{(2n-1)!!}{(n+1)!2^{2n+2}}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sum_{n\geq 1}\frac{(2n)!}{n!(n+1)!8^{n}}$$ que se desprende de: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}z^n = \frac{1-\sqrt{1-4z}-2z}{2z}.\tag{1}$$ $(1)$ es sólo una variación menor del función generadora de números catalanes .