¿Subbase contable implica base contable?

Question

Estoy intentando demostrar que una topología es contable en segundo lugar, es decir, que tiene una base contable, pero sólo he conseguido demostrar que tiene una subbase contable. Sólo he encontrado afirmaciones de que la base contable es equivalente a la subbase contable, pero ninguna prueba.

Eso sí me parece extraño : $\{A_i\}_{i\in I}$ una familia contable, no $\mathcal{B}=\{A_{i_1}\cap...\cap A_{i_n}\}$ tienen tantos elementos como las partes de $\mathbb{N}$ ? ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

$\mathcal B$ no tiene más elementos que el finito subconjuntos de $\mathbb N$ . Y el conjunto de subconjuntos finitos de $\mathbb N$ es contable.

Para $F\subset \mathbb N$ finito, definir $n_F=\sum_{i\in F} 2^i$ . Esto es $1-1$ en el conjunto de subconjuntos finitos.