Demuestra que ${\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)+2 f(a-h)-3 f(a)}{h^{2}}}=3f′′(a)$

Question

Antes de la demostración, he probado la representación del límite de la segunda derivada

\begin{align} f''(x)&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\\ f''(x)&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+2 h)-f(x+h)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{h}\\ f''(x)&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+2 h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)}{h}}{h}\\ f''(x)&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+2 h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)}{h^{2}}\\ f''(x)&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+2 h)-2 f(x+h)+f(x)}{h^2} \end{align}

Esta fórmula es muy similar a la expresión del límite de la segunda derivada.

Answer 1

Voy a suponer que $f''(a)$ existe, de lo contrario la fórmula no tiene sentido. (Sin embargo, esto debería haberse mencionado en el problema).

Así que podemos aplicar el teorema de Taylor; véase el enlace: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

Por tanto, existe una función real $g(x)$ tal que $$f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + g(x)(x-a)^2$$ y $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)=0$ .

Poner $x=a+2h$ y $x=a-h$ para obtener $$f(a+2h)= f(a)+f'(a)\cdot 2h+\frac{1}{2}f''(a)\cdot 4h^2 + g(a+2h)\cdot 4h^2$$ $$f(a-h)= f(a)+f'(a)\cdot (-h)+\frac{1}{2}f''(a)\cdot h^2 + g(a-h)\cdot h^2$$

Así, el numerador es

$f(a+2h)+2f(a-h)-3f(a)=$ $f(a)+2hf'(a)+2h^2f''(a) + 4h^2g(a+2h) +$ $+2f(a)-2hf'(a)+h^2f''(a) + 2h^2g(a-h)-3f(a) =$ $3h^2f''(a)+4h^2g(a+2h)+ 2h^2g(a-h)$ . Si se divide por $h^2$ se obtiene $3f''(a)+4g(a+2h)+ 2g(a-h)$ . Tomando el límite $\lim\limits_{h\rightarrow 0}$ produce $3f''(a)$ .