Función holomorfa en un anillo

Question

Estoy tratando de hacer una pregunta pero tengo una duda sobre las funciones holomorfas, aquí está el problema.

Dejemos que $A = \{z \mathbb{C} : \frac{1}{R}< |z| < R\}$ . Supongamos que $f : A \mathbb{C}$ es holomorfo y que $|f(z)| = 1 $ si $|z| = 1$ . Demostrar que $f(z) = {\left(\overline{f(\bar{z}^{1})}\right)}^{-1}$ cuando $ |z| = 1 $ y deducir que esto es válido para todos los $z A$ .

Ahora, mi problema es con la deducción final...

Creo que necesito algo sobre los ceros de f ya que el lado derecho de la igualdad podría no estar definido en algún momento. ¿Estoy en lo cierto o hay alguna forma de demostrar que una función con estas propiedades nunca puede ser cero en A?

Gracias a todos.

Answer 1

$f(z) \cdot \overline{f(1/\,\overline{z})}$ está bien definida y es holomorfa en $A$ e igual a $1$ para $|z|=1$ . Entonces es constante en $A$ ya que los conjuntos de niveles de las funciones holomorfas no constantes son discretos.