Demuestre que si $T: X \to Y$ es un operador biyectivo y cerrado, entonces $T^{-1}$ está acotado.

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son dos espacios normados, donde $X$ está completo. Demuestre que si $T: X \to Y$ es un operador biyectivo y cerrado, entonces $T^{-1}$ está acotado.

Mi idea es demostrar que $Y$ es un espacio de Banach, y entonces puedo utilizar el teorema del grafo cerrado para concluir que $T$ está acotado, y entonces el teorema del Mapeo Inverso para la acotación de $T^{-1}$ .

He demostrado que $T$ mapea subconjuntos compactos de $X$ a subconjuntos cerrados de $Y$ . Y yo (creo) que puedo demostrar que $T^{-1}$ también es un operador cerrado.

Creo que me estoy equivocando de camino, así que agradecería que me dieran pistas. Esta pregunta ya está en el sitio pero sigue abierta, y la respuesta dada es, a mi entender, vaga.

Answer 1

Pruebe con un ejemplo concreto en el que sepa $T$ no tiene una inversa acotada. Por ejemplo, supongamos que $X=\ell^2$ y definir $T : X\rightarrow X$ por $$ Tx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\langle x,e_n\rangle e_n $$ Definir $Y=TX$ con la norma de $\ell^2$ . Entonces $T : X\rightarrow Y$ es una biyección, y está acotada, lo que la hace cerrada. Para ver por qué, supongamos $\{ x_n \}$ converge a algún $x\in X$ y $\{ y_n =Tx_n \}$ converge a algún $y \in Y$ . Entonces, porque $T$ está acotado, $y_n = Tx_n \rightarrow Tx$ , dando $Tx=y$ .

Pero la inversa $T^{-1}$ no está acotado porque $T^{-1}e_n=2^ne_n$ .