Un espacio topológico Hausdorff localmente euclidiano es un colector topológico si $\sigma$ -compacto.

Question

Me gustaría que alguien especificara los fallos en mi esquema de la prueba de la afirmación anterior. Estoy siguiendo la definición de colector topológico utilizada en Introduction to Smooth Manifolds de Lee. (es el segundo contable)

Dejemos que $X$ para ser un espacio topológico Hausdorff localmente euclidiano.

$\Rightarrow$ : Si $X$ es una variedad topológica, entonces tiene una base contable de bolas de coordenadas precompactas por un lema. Por tanto, existe un conjunto contable de bolas de coordenadas precompactas que cubren $X$ y el conjunto de cierre de estas bolas es el conjunto de subespacios contables compactos que cubren $X$ . Así, $X$ es $\sigma$ -compacto.

$\Leftarrow$ : Si $X$ es $\sigma$ -compacto, existe un conjunto de conjuntos contables compactos que cubren $X$ . Sea $C$ sea un conjunto compacto arbitrario de este conjunto. Dado que $X$ (y $C$ ) es localmente euclidiano, $C$ es localmente metrizable. Dado que $C$ es un espacio compacto de Hausdorff localmente metrizable, es metrizable y, por tanto, 2º contable. Así, siendo la unión contable de estos espacios compactos con base contable, $X$ es 2° contable y, por lo tanto, un colector topológico.

¿Debo añadir una prueba de que un espacio Hausdorff compacto localmente metrizable es metrizable? He encontrado esta afirmación en la Topología de Munkre, pero ¿es realmente un hecho ampliamente conocido?

Answer 1

El colector $\Rightarrow \sigma-$ compacto se ve bien. La otra dirección probablemente también funcione, pero puedes probarlo de forma mucho más directa/fácil.

Basta con mostrar $X$ el espacio es segundo contable. Sea $K_n$ sea la cobertura de $X$ por conjuntos compactos, y asumir que todos son no vacíos. Para cada $x\in K_n$ , hay un barrio abierto $U_{x,n}$ que es homeomorfo a una bola abierta en $\mathbb{R}^m$ . Entonces tenemos $K_n\subset \bigcup_{x\in K_n} U_{x,n}$ . Por compacidad, hay un número finito de $U_{x,n}$ que cubren cada $K_n$ . Al unir todo esto para cada $n$ nos da una cobertura contable para $X$ por conjuntos abiertos que son homeomorfos a bolas abiertas en $\mathbb{R}^m$ . Cada uno de estos conjuntos tiene una base contable. La unión contable de estos conjuntos es también un conjunto contable, por lo que queda demostrar que este conjunto es una base, lo cual es fácil.