Valor esperado para la probabilidad geométrica

Question

Puntos $P=(X_P,Y_P)$ y $Q=(X_Q,Y_Q)$ fueron elegidos independientemente del cuadrado $(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1)$ con probabilidad geométrica. ¿Cómo se puede encontrar $$\mathbb{E}\big|X_P-X_Q\big|^2\ ?$$

He estado pensando y pensando, pero no se me ha ocurrido nada. ¿Cómo se define aquí el valor esperado? No hay función de densidad, ni la distribución es discreta.

Answer 1

Con independencia, $A=E((X_P-X_Q)^2)$ es $A=E(X_P^2)+E(X_Q^2)-2E(X_P)E(X_Q)$ . Desde $X_P$ y $X_Q$ se distribuyen de forma idéntica, $A=2E(X_P^2)-2E(X_P)^2$ . La densidad de $X_P$ es $f:x\mapsto(1-|x|)^+$ y $f$ es incluso por lo tanto $E(X_P)=0$ y $E(X_P^2)=2\displaystyle\int_0^1x^2(1-x)\mathrm dx=\tfrac16$ y $A=2\cdot\frac16=\frac13$ .