He estado tratando de entender un análogo de la paradoja de Russell para las categorías (Por favor, consulte este enlace para más detalles y preliminares sobre mi pregunta: Russell Pardox para la teoría de la categoría ingenua )
No entiendo el primer lema, concretamente cómo la presencia de M y N en $C_1$ resulta en cualquier categoría arbitraria en $C_1$ siendo isomorfo a alguna categoría en $C_2$ ? Me parece que se ha omitido algo en el boceto que es necesario para entenderlo. Por lo tanto, sería genial si alguien pudiera arrojar luz sobre esta cosa que falta.
( La parte pertinente del texto también se copia aquí. )
Sólo como referencia, permítanme dar algunos detalles más de mi Russell para la teoría de la categoría ingenua.
Entorno:
Trabajamos en un entorno de teoría de categorías ingenua, es decir teoría de categorías en la que el fundamento (teórico de conjuntos o de otro tipo) se ha dejado sin especificar.
Definición. A categoría de categorías es una categoría $\mathcal C$ tal que
(i) cada objeto de $\mathcal C$ es una categoría,
(ii) para cualquier objeto $A$ y $B$ de $\mathcal C$ los morfismos de $A$ a $B$ en $\mathcal C$ son exactamente los funtores de $A$ a $B$ ,
(iii) para cualquier objeto $A$ de $\mathcal C$ el morfismo de identidad $1_A$ en $A$ es el functor de identidad en $A$ ,
(iv) la ley de composición para los morfismos de $\mathcal C$ está dada por composición de funtores.
Definición. Una categoría $\mathcal C$ es universal si
(i) $\mathcal C$ es una categoría de categorías, (ii) toda categoría es isomorfa a alguna categoría que pertenece a $\mathcal C$ .
Teorema. No existe una categoría universal.
Prueba
Para dar la prueba, utilizamos las siguientes definiciones y lemas.
Dejemos que $M$ sea la categoría con exactamente dos objetos $A$ y $B$ y exactamente tres morfismos $1_A$ , $1_B$ y $f: A\to B$ .
Dejemos que $N$ sea la categoría con exactamente tres objetos $A, B, C$ y exactamente seis morfismos $1_A, 1_B, 1_C, f: A \to B, g: B \to C, h: A \to C$ .
Lema. Dejemos que $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ sean dos categorías isomorfas tales que
(i) $\mathcal C_1$ es una categoría de categorías,
(ii) $\mathcal C_2$ es una categoría de categorías,
(iii) $\mathcal C_1$ contans categorías que son isomorfas a $M$ y $N$ .
Entonces, cada categoría perteneciente a $\mathcal C_1$ es isomorfo a alguna categoría perteneciente a $\mathcal C_2$ y viceversa.
Prueba (esquema). Si $C$ es cualquier categoría perteneciente a $\mathcal C_1$ existe una correspondencia obvia correspondencia uno a uno entre los morfismos de $C$ y los funtores de $M$ en $C$ y las composiciones de dichos morfismos se recogen mediante funtores de funtores de $N$ en $C$ .
Así, los tipos de isomorfismo de las categorías pertenecientes a $\mathcal C_1$ están determinados por el tipo de isomorfismo de $\mathcal C_1$ sí mismo.
Además, lo mismo ocurre con $\mathcal C_2$ porque $\mathcal C_2$ también contiene categorías isomorfas a $M$ y $N$ .
El lema es el siguiente.
Definición. Una categoría $\mathcal C$ es autista si
(i) $\mathcal C$ es una catogoría de categorías,
(ii) $\mathcal C$ es isomorfo a alguna categoría que es objeto de $\mathcal C$ .
$\ $ Una categoría $\mathcal C$ es pseudoautismo si es isomorfo a alguna categoría autista.
Lema. Dejemos que $\mathcal C$ sea una categoría de categorías tal que
(i) $\mathcal C$ es pseudoautista,
(ii) $\mathcal C$ contiene categorías isomorfas a $M$ y $N$ .
Entonces $\mathcal C$ es autista.
Prueba. Esto se deduce inmediatamente del lema anterior.
Para demostrar el teorema, dejemos que $\mathcal C$ sea una categoría universal.
Dejemos que $\mathcal D$ sea la subcategoría completa de $\mathcal C$ compuesto por todas las categorías pertenecientes a $\mathcal C$ que no son pseudoautistas.
Entonces $\mathcal D$ es de nuevo una categoría de categorías.
Además, como $M$ y $N$ no son pseudoautistas, $\mathcal D$ contiene categorías isomorfas a $M$ y $N$ .
Supongamos primero que $\mathcal D$ es autista.
Entonces $\mathcal D$ es isomorfo a alguna categoría $E$ que pertenece a $\mathcal D$ .
Entonces $E$ es pseudoautista. Por lo tanto, por definición de $\mathcal D$ , $E$ no pertenece a $\mathcal D$ . Esto es una contradicción.
Hemos demostrado que d no es autista.
Por el lema anterior se deduce que $\mathcal D$ no es pseudoautista.
Desde $\mathcal C$ es universal, $\mathcal D$ es isomorfo a alguna categoría $E$ que pertenece a $\mathcal C$ . Por lo tanto, $E$ no es psuedoautista. Por lo tanto, $E$ pertenece a $\mathcal D$ .
Así, $\mathcal D$ es autista. Esto es una contradicción.
El teorema está demostrado.
