Cuál es el vector normal unitario de la curva $y + x^2 = 1$

Question

Cuál es el vector normal unitario de la curva $y + x^2 = 1$ , $-1 \leq x \leq 1$ ?

Lo necesito para calcular la integral de flujo de un campo vectorial sobre esa curva.

Answer 1

Una ecuación paramétrica para la curva es $$\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+(1-t^2)\mathbf{j}\qquad t\in[-1,1]$$ Podemos encontrar el vector tangente unitario como $$\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left|\mathbf{r}'(t)\right|}$$ Después de eso, el vector normal unitario se puede encontrar como $$\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\left|\mathbf{T}'(t)\right|}$$

Answer 2

La curva viene dada por $F(x,y)=x^2+y-1=0$ . Un vector normal es $\operatorname{grad}{F}=(F_x,F_y)=(2x,1)$ . Ahora normalizamos para obtener

$$n=\left(\frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}},\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}\right)$$

Answer 3

Esta es otra forma utilizada cuando se quiere encontrar el vector normal unitario en el plano $$y=1-x^2$$ $$y'=-2x$$ $$v=2xi+j$$ $$|v|=\sqrt{(2x)^2+1^2}=\sqrt{4x^2+1}$$ $$n=\frac{v}{|v|}=\frac{2xi}{\sqrt{4x^2+1}}+\frac{j}{\sqrt{4x^2+1}}$$