$\lim _{(x,y)\to(0,0)}\frac{x(x-y)}{x^4+y^4}$ no existe

Question

Demuestra que

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy(x-y)}{x^4+y^4}$$

no existe.

He probado los caminos "tradicionales", con $(x,x)$ , $(0,x)$ , $(0,-x)$ , pero sólo obtengo $0$ como respuesta. ¿Alguna pista?

Gracias.

Answer 1

Una pista: Considera los caminos que ya has tomado junto con el camino $t\mapsto (t,t^2)$ .

Answer 2

Tome el límite como $(x,y)\rightarrow(0,0)$ a lo largo de la línea $y=-x$ :

esto da $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-2x^3}{2x^4}=\lim_{x\to0}-\frac{1}{x}$ que no existe.

Answer 3

Considere la trayectoria de la línea recta arbitraria $y=mx$ , $m \in \mathbb{R}$ : $$\begin{align*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy(x-y)}{x^4 + y^4} &= \lim_{x\to0}\frac{mx^2(x-mx)}{x^4 + m^4x^4} \\&= \lim_{x\to 0} \frac{mx^3(1-m)}{x^4(1+m)} \\&= \lim_{x\to 0} \frac{m(1-m)}{x(1+m)} \end{align*}$$ Ahora, en primer lugar, observe que el límite depende de $m$ lo que significa que el límite de la función no existe para ningún valor que $x$ porque el límite será diferente para cada valor de $m$ .

Pero veamos esto un poco más allá y manipulemos lo que tenemos en la siguiente forma:

$$\begin{align*}\lim_{x\to 0} (\frac{1-m}{1+m}\times \frac{1}{x} ) &= \lim_{x\to 0}(\frac{1-m}{1+m})\times\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x})\end{align*}$$ De lo cual se desprende claramente lo siguiente:

En el caso de que $x \to 0$ el límite no existe, ya que $$\begin{align*}\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x} \neq\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\end{align*}$$