En el ejemplo resuelto anteriormente, en lugar de tomar $a^2x^4$ juntos y diferenciando $a^2 = 0$ diferenciamos $x^4$ y sacó $a^2$ . ¿Por qué? ¿No podríamos haber diferenciado $a^2$ y obtener la respuesta cero?
Respuestas
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Tenemos $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(a^2 x^4\right) = a^2 \cdot 4x^3$ . Puedes ver que esto es cierto utilizando la regla del producto de la siguiente manera:
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(a^2 x^4\right) = x^4 \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(a^2\right) + a^2\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(x^4\right)$$
Como usted dijo $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(a^2\right) = 0$ por lo que lo anterior se simplifica a $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(a^2 x^4\right) = a^2\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(x^4\right) = a^2 \cdot 4x^3$$
Esto es cierto en el caso general, dejemos $f(x) = a\cdot g(x)$ donde $a$ es una constante y $f, g$ son funciones diferenciables. Entonces, utilizando la notación que $f'(x)$ es la derivada de $f$ con respecto a x y la regla del producto, tenemos $$f'(x) = g(x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a\right) + a \cdot g'(x)$$
Aplicando la regla de que $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a\right) = 0$ simplifica lo anterior a $$f'(x) = a\cdot g'(x)$$
Como nota al margen, si bien es cierto que $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f(x) + g(x)\right) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f(x)\right) + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(g(x)\right) = f'(x) + g'(x)$$
que se llama la linealidad del operador diferencial, tenemos $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f(x) \cdot g(x)\right) \neq \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f(x)\right) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(g(x)\right) $$
Seemas Justin
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Sí, siempre se puede quitar la constante. Tienes razón al afirmar que $$\frac{d}{dx}(a^{2})=0 $$ Pero ten en cuenta el hecho de que a continuación.
$$ \frac{d}{dx}(a^{2}x^{4})\neq \frac{d}{dx}(a^{2}) \cdot \frac{d}{dx}x^{4} $$
Si quieres hacer $\frac{d}{dx}(a^{2}x^{4})$ Aplicar la regla de la cadena y se obtendrá obtener $$ \frac{d}{dx}(a^{2}x^{4})=a^{2}\frac{d}{dx}x^{4} $$ Así que cuando tengas una constante, puedes sacarla.
Narasimham
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Jonathan Hebert
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Una cosa sobre las reglas de diferenciación es que siempre funcionan en cualquier circunstancia.
Sí, siempre se puede sacar la constante mientras se diferencia, pero al mismo tiempo, ya que $f(x)=a$ es ciertamente una función, tomando la derivada de $ax^{2}$ utilizando la regla del producto es mejor que funcione - es un producto de funciones y por lo tanto la regla del producto debe funcionar. Funciona y debe funcionar, sólo que es más rápido utilizar la regla de que las constantes se pueden sacar de la operación de diferenciación, pero estos dos métodos siempre coincidirán, son equivalentes.
Del mismo modo, si te pido que diferencies $x^{2}$ probablemente utilizaría rápidamente la regla de la potencia y devolvería $2x$ Pero, ¿y si escribimos esto como $x \cdot x$ ? Ya que es lo mismo que $x^{2}$ y es un producto de funciones, más vale que la regla del producto funcione aquí, y lo hace: $\frac{d}{dx}(x \cdot x) = x \cdot \frac{d}{dx} x + \frac{d}{dx}x \cdot x = x + x = 2x$ .
Prácticamente cualquier función puede tener múltiples reglas aplicadas para tomar la derivada. Las reglas de la derivada son teoremas matemáticos completos, nunca dejarán de funcionar.
Si quieres sacar la constante de la diferenciación, hazlo, si quieres usar la regla del producto, hazlo; ambos son movimientos válidos. Obsérvese que el uso de la regla del producto sobre una función constante y un producto de función arbitrario demuestra que sacar la constante siempre es válido.
