Hallar una ecuación de un plano a cierta distancia de un plano dado

Question

Sólo quería saber la metodología de cómo resolver la ecuación de un plano que está a cierta distancia de algún plano dado.

Gracias. Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Si la ecuación del plano dada es $$ax+by+cz=d$$ donde $(a,b,c)$ es el unidad normal entonces la ecuación requerida es $$ax+by+cz=d\pm e$$ donde e es la distancia entre los planos

Añadido

La normal a ambos planos es $(a,b,c)$ por lo que la ecuación plana requerida es $$ax+by+cz=F$$ Entonces, para cualquier punto $(x_0,y_0,z_0)$ en este plano tenemos $$\color{red}{ax_0+by_0+cz_0}=F$$ y la distancia $e$ desde el punto $(x_0,y_0,z_0)$ al plano dado es $$e=\frac{|\color{red}{ax_0+by_0+cz_0}-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \frac{|\color{red}F-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ \implies e\sqrt{a^2+b^2+c^2}=|F-d|\implies F=d\pm e\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ Si lo normal es unidad normal entonces $$ax+by+cz=d\pm e$$ Nota la distancia entre un punto $(x_0,y_0,z_0)$ y un avión $ax+by+cd-d=0$ viene dada por la fórmula $$\color{blue}{\frac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$$

Answer 2

Si la distancia deseada es $n$ entonces la ecuación requerida es $ax+by+cz+d\pm n\sqrt{a^2+b^2+c^2}=0$ .