Espacios con diferente tipo de homotopía

Question

Quiero demostrar que los espacios $ S^1 \vee S^1 \vee S^2$ y $S^1 \times S^1 $ no tienen el mismo tipo de homotopía.

He calculado sus homologías y cohomologías y resultan ser iguales.

Así que quiero emplear el producto de la copa para obtener el resultado deseado, pero necesito una pista sobre cómo se puede hacer.

Gracias.

Answer 1

Por la fórmula de Künneth, tenemos $$ H^*(S^1 \times S^1; \Bbb Z) \cong \Lambda_\Bbb Z[\alpha, \beta], $$ el álgebra exterior en dos variables, con $|\alpha| = |\beta| = 1$ . Esto también puede demostrarse mediante un cálculo directo utilizando la homología simplicial.

Por la fórmula del anillo de cohomología de una suma de cuñas, tenemos $$ \tilde H^*(S^1 \vee S^1 \vee S^2; \Bbb Z) \cong \tilde H^*(S^1; \Bbb Z) \oplus \tilde H^*(S^1; \Bbb Z) \oplus \tilde H^*(S^2; \Bbb Z). $$

Ahora podemos ver que el producto taza de los dos generadores de $H^1(S^1 \times S^1; \Bbb Z)$ no es trivial, mientras que el producto taza de los dos generadores de $H^1(S^1 \vee S^1 \vee S^2; \Bbb Z)$ es trivial. De ello se desprende que los dos espacios no son homotópicos equivalentes.