Simetrización "canónica"/simetrización oblicua/alternancia de funciones multilineales

Question

¿Existe algún sentido preciso en el que el functor "alternancia" $A$ que mapea una función multilineal $f\colon M^d\to N$ a la función alternante función multilineal $A(f)\colon M^d\to N$ definido por $$ A(f)(x_1,\dotsc,x_d) = \sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma) f(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(d)}) $$ ¿es la canónica o la más natural? Aquí $M$ y $N$ son espacios vectoriales o módulos sobre un anillo conmutativo $R$ .

En particular, ¿hay alguna razón matemática, cuando se necesita "alternar" una función multilineal, para elegir esta $A$ en $-A$ ?

Nota. No he utilizado el factor $\frac{1}{d!}$ porque en un anillo o en un campo $d!$ no necesita tener una inversa.

La misma pregunta puede hacerse, supongo, sobre el functor de "simetrización" $S$ definido por $$ S(f)(x_1,\dotsc,x_d) = \sum_{\sigma\in S_n} f(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(d)}). $$

Una pregunta relacionada o quizás equivalente: en qué sentido los mapas $$ M^{\otimes d}\to M^{\otimes d},\quad x_1\otimes\dotsb\otimes x_d\mapsto \sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma) x_{\sigma(1)}\otimes\dotsb\otimes x_{\sigma(d)} $$ y $$ M^{\otimes d}\to M^{\otimes d},\quad x_1\otimes\dotsb\otimes x_d\mapsto \sum_{\sigma\in S_n} x_{\sigma(1)}\otimes\dotsb\otimes x_{\sigma(d)} $$ ¿son "canónicos"?

Creo que "canónico" debería significar "determinado únicamente hasta el isomorfismo por algún propiedad universal ."

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A veces, los signos de las definiciones estándar se eligen de forma algo o totalmente aleatoria.

Ejemplo. En la definición axiomática del derivado exterior de un forma diferencial no hay absolutamente ninguna razón para exigir $$ \mathrm{d}( ) = \mathrm{d} + (1)^p ( \mathrm{d}), $$ donde $$ is a $ p $-form. It could be as well required instead that $$ \mathrm{d}( ) = (1)^q (\mathrm{d} ) + \mathrm{d}, $$ where $$ es un $q$ -forma. (Me parece que la forma más general de una regla de producto de álgebra diferencial debería ser algo así: $d(ab) = d(a)\mu(b) + \lambda(a)d(b)$ , donde $\lambda$ y $\mu$ son dos endomorfismos fijos).

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Nota sobre la terminología. Debo admitir que los términos como "simetrización" (en el título, etc.) son probablemente engañosos y están mal elegidos, porque normalmente se asume que simetrizar cosas simétricas no debería cambiarlas.

Answer 1

Afirmo que la opción "más natural" implica aquellos factores de $\frac{1}{d!}$ que has omitido. La razón es la siguiente. $M^{\otimes d}$ está naturalmente dotado de una representación del grupo simétrico $S_d$ . Al menos, si trabajamos sobre un campo, es natural intentar aislar la componente isotípica de la representación trivial o de signo (los tensores simétricos o antisimétricos), y si trabajamos en la característica cero, es natural hacerlo utilizando los idempotentes canónicos en el álgebra de grupos $\mathbb{Q}[S_d]$ que hacen esto, a saber

$$\frac{1}{d!} \sum_{\pi \in S_d} \pi$$

y

$$\frac{1}{d!} \sum_{\pi \in S_d} \text{sgn}(\pi) \pi$$

respectivamente. El punto de esas divisiones por $d!$ es para que las operaciones resultantes sean idempotentes, y en particular para que fijen el subespacio de los tensores simétricos y antisimétricos. Más generalmente, si un grupo finito $G$ actúa sobre un espacio vectorial $W$ y $V$ es una representación irreducible de $G$ entonces el idempotente $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_V}(g) g$ es el idempotente canónico que siempre se proyecta sobre el $V$ -componente isotípico, donde $\chi_V$ es el carácter de $V$ .

El hecho de que sea natural dividir por $d!$ en este argumento sugiere que ocurren cosas raras cuando no se puede, y de hecho ocurren. Si trabajas en la característica $p$ donde $p \le d$ entonces se entra en el terreno de teoría de la representación modular donde el teorema de Maschke falla en general. En particular, no hay razón para esperar que los tensores simétricos sean un sumando directo de $M^{\otimes d}$ como $S_d$ -en general, por lo que no hay razón para esperar que exista un idempotente que conmute con la acción de $S_d$ que se proyecta sobre ella. Si se intenta simetrizar sin dividir por $d!$ entonces su mapa de simetrización multiplica todos los tensores simétricos por $d!$ ¡que los aniquila, y eso me parece un comportamiento muy curioso para un mapa llamado de simetrización!

Answer 2

Esta es mi respuesta parcial o conjetura.

Busquemos una noción general de "simetrización" (¿mal término?) de una función de un conjunto a un semigrupo abeliano en el siguiente sentido.

Dado un grupo finito $G$ con un subgrupo $H$ , un conjunto $X$ con un derecho $G$ -acción (a $G$ -Configurar ), un semigrupo abeliano $M$ con un derecho $G$ -por automorfismos (un abeliano $G$ -semigrupo ), y un $H$ -función equivariante $f\colon X\to M$ El $(G,H)$ -simetrización (¿mal término?) de $f$ debe ser un $G$ -función equivariante $Q_{G,H}(f)\colon X\to M$ . Además, para un $G$ -equivariante $f$ la igualdad $Q_{G,G}(f) = f$ debe mantener.

Tengo la impresión de que, en cierto sentido, la única definición "razonable" de dicho functor $Q$ debe ser $$ Q_{G,H}(f)(x) =\sum_{g\in T}(f(x^{g^{-1}}))^g, \quad\text{where}\quad G =\bigsqcup_{g\in T}Hg $$ ( $T$ es un transversal derecho para $H$ en $G$ ).

Sin embargo, la fórmula en el espíritu de la respuesta de Qiaochu Yuan $$ P_{G,H}(f)(x) =\frac{\sum_{g\in T}(f(x^{g^{-1}}))^g}{|G:H|}, \quad\text{where}\quad G =\bigsqcup_{g\in T}Hg $$ es la buena en el caso de que el semigrupo abeliano $M$ se sustituye, por ejemplo, por un $\mathbb{Q}$ -affine o a $\mathbb{Q}$ -espacio convexo $N$ .

Nota terminológica

Probablemente "simetrización" no es un buen término para esto porque se suele esperar que las "simetrizaciones" sean idempotentes: simetrizar cosas simétricas no debería modificarlas. Tal vez algo como " plegable "¿sería mejor?

Analogía con la matriz adjunta

He aquí una analogía intuitiva para explicar por qué $Q_{G,H}$ puede considerarse "mejor" que $P_{G,H}$ a pesar de no ser idempotente. (Está más o menos claro en qué sentido $P_{G,H}$ puede considerarse "mejor" que $Q_{G,H}$ : $P_{G,H}$ es idempotente).

La operación de tomar la matriz inversa (sobre un campo o un anillo conmutativo) es una bonita involución con buenas propiedades, pero no siempre está definida. Tomar la adjuntar no es una involución, pero siempre está definida sobre un anillo conmutativo, por lo que puede considerarse "mejor".

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Puede que amplíe esta respuesta si consigo exponer la conjetura con más precisión o justificar mejor la palabra "razonable".