¿Cuántas soluciones de Onsager hay?

Question

Actualización: He dado mi propia respuesta (reflejando las cosas que he descubierto desde que hice la pregunta). Pero todavía hay mucho que añadir. Me encantaría conocer la opinión de otras personas sobre las soluciones y las relaciones entre ellas. En particular descripciones breves e intuitivas de los métodos utilizados . Vamos, la recompensa espera ;-)

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Ahora, esto podría parecer una pregunta sobre la historia del modelo de Ising, pero en realidad se trata de física. En particular, quiero aprender sobre todos los enfoques del modelo de Ising que tienen de alguna manera u otra relación con la solución de Onsager.

Además, estoy haciendo tres preguntas a la vez pero están muy relacionadas así que he pensado que es mejor ponerlas bajo un mismo paraguas. Si crees que sería mejor dividirlas por favor házmelo saber.

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Cuando se leen artículos y se escuchan conferencias uno se encuentra a menudo con los llamados La solución de Onsager . Evidentemente, esto es muy famoso, un primer caso de solución completa de un sistema microscópico que presenta una transición de fase. Así que es bastante sorprendente que cada vez que oigo hablar de él, la derivación es (al menos ostensiblemente) completamente diferente.

Para ser más precisos y dar algunos ejemplos:

1. El enfoque más común parece ser el cálculo de los valores propios de alguna matriz de transferencia.
2. Hay pocas aproximaciones a través del modelo de contorno de Peierl. Esto se puede reformular en términos de un modelo de ciclos en las aristas y entonces se puede proceder por expansión de clústeres o de nuevo por algunos cálculos matriciales.

Las soluciones difieren en el tipo de matriz que utilizan y también en si emplean o no la transformada de Fourier.

Ahora, mis preguntas (o más bien peticiones) son:

1. Trate de dar otro ejemplo de un enfoque que podría llamarse La solución de Onsager (también puedes incluir variaciones de las que ya he mencionado).
2. ¿Son todos estos enfoques realmente tan diferentes? Argumente por qué o por qué no algunos (o mejor aún, todo ) de ellos podría ser equivalente.
3. ¿Qué enfoque adoptó realmente Onsager en su documento original? En otras palabras, ¿cuál de los numerosos Soluciones de Onsager es en realidad el La solución de Onsager .

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Para 3.: He mirado un poco el documento y estoy un poco perplejo. Por un lado parece que podría estar relacionado con la matriz de transferencia pero por otro lado habla de álgebras de cuaterniones. Ahora bien, puede que sea sólo una peculiaridad del enfoque de Onsager sobre las matrices 4x4 que aparecen básicamente en todas las demás soluciones, pero necesitaré algo de tiempo para entenderlo; así que se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Me gustaría poder hacer justicia a su pregunta, pero me contentaré con un comentario sobre la conexión entre dos de los métodos de solución mencionados en el artículo de Barry McCoy, a saber, el método de la matriz de transferencia conmutada de Baxter y el enfoque algebraico original de Onsager.

En cierto sentido, estos métodos deben considerarse distintos, ya que el método de Baxter es aplicable a una amplia familia de modelos adicionales, mientras que el método de Onsager sólo se aplica a los modelos de Ising y a otros estrechamente relacionados. Un hecho relacionado es que, mientras que la energía libre y el parámetro de orden se han calculado para un gran número de modelos bidimensionales, sólo para Ising se entienden completamente las funciones de correlación. (Entre los modelos bidimensionales resolubles, Ising parece ser muy especial. Se encuentra en la intersección de muchas familias infinitas de modelos. Aunque todos los modelos reticulares solubles tienen mucha estructura inesperada -en particular, tienen infinitas cantidades conservadas- Ising es aún más especial. El método de solución original de Onsager aprovechaba parte de esta estructura especial, en particular, la estructura de producto directo de las matrices de transferencia.

Dado que el método de la matriz de transferencia conmutada de Baxter no explota esta estructura especial, puede utilizarse para resolver otros muchos modelos que no la tienen. Su método utiliza la relación Yang-Baxter para establecer que las matrices de transferencia se conmutan para diferentes valores del parámetro espectral (que, en el modelo de Ising, parametriza la diferencia entre las fuerzas de acoplamiento horizontal y vertical). Dado que los vectores propios deben ser, por tanto, independientes del parámetro espectral, se pueden derivar relaciones funcionales para los valores propios, que pueden resolverse.

El método de Onsager fue ampliado por Dolan y Grady, que demostraron que un determinado conjunto de relaciones de conmutación implica la existencia de un conjunto infinito de leyes de conservación. En la década de 1980, se descubrió una generalización resoluble de n estados del modelo de Ising, conocida como el modelo quiral superintegrable de Potts, que satisface las condiciones de Dolan y Grady y, en consecuencia, tiene matrices de transferencia con la misma estructura de producto directo que Onsager explotó en 1944. Curiosamente, el modelo quiral superintegrable de Potts corresponde a un punto especial de una familia de modelos resolubles de un parámetro, los modelos quirales integrables de Potts. Estos últimos son resolubles por el método de Baxter, pero pueden ser resueltos por el método de Onsager sólo en el punto superintegrable. Parece que actualmente se está trabajando mucho en las funciones de correlación del modelo quiral superintegrable de Potts.

Los otros métodos de solución que menciona Barry McCoy en su artículo de la Scholarpedia -los fermiones libres de Kaufman, el método combinatorio, la solución 399 de Baxter y Enting- también parecen hacer uso de la estructura particular del modelo de Ising. En este sentido, son más parecidos al método original de Onsager que al método de la matriz de conmutación-transferencia de Baxter. Como ya has sugerido, puede haber algunas equivalencias entre ellos, pero tendría que estudiarlo más a fondo antes de hacer más comentarios.

Answer 2

Como nadie intenta dar una respuesta, voy a intentarlo yo mismo.

Poco después de escribir esta pregunta me enteré (en este linda respuesta de Raskolnikov ) sobre el maravilloso libro de Baxter sobre soluciones exactas en mecánica estadística. Poco a poco me di cuenta de que el modelo de Ising ha sido resuelto tantas veces por algunos métodos diferentes por prácticamente todos los físicos famosos (enumeraré algunas de las soluciones más adelante) que quedó claro que mi pregunta es, con suerte, inadecuada y sólo refleja mi enorme ignorancia.

Para compensarlo, empecé a leer periódicos. El propio artículo de Onsagar salió en 1944. En 1949 apareció el artículo de Bruria Kaufman donde señala que la matriz de transferencia puede interpretarse como $2^n$ -de la representación dimensional de $2n$ -rotaciones dimensionales. Así que introduce el análisis de espinores (por ejemplo, las matrices de Pauli y Dirac) y pasa a resolver el problema. Debo decir que estoy enamorado de este enfoque (vale, me has pillado, yo soy una persona del grupo).

En 1952, Kac y Ward utilizaron un método puramente combinatorio de algunos polígonos (que todavía no entiendo bien, pero probablemente tiene que ver con los contornos de Peierl). Otros trabajos señalan la dualidad con el campo fermiónico libre. O señalan que Ising no es más que un caso especial del modelo de racimos aleatorios; o un modelo de dímeros. Estos trabajos llevan nombres (sin ningún orden en particular) como Potts, Ward, Kac, Kasteleyn, Yang, Baxter, Fisher, Montroll y otros. Es obvio que me llevará algún tiempo entender (o incluso leer) todos esos artículos.

Así que tomé un camino diferente y utilicé Preguntado por Google . Si se consultan todos los nombres anteriores a la vez, se obtienen preciosas gemas:

1. Artículo sorprendente en Scholarpedia. Contiene el tratamiento histórico, los principales métodos de solución, las referencias a los documentos que he mencionado y mucho más.
2. papel Historia del modelo Lenz-Ising
3. papel Magnetización espontánea del modelo Ising

Answer 3

Estoy más o menos a la mitad de la parte más importante del documento de Onsager, así que intentaré resumir lo que he entendido hasta ahora, editaré más tarde cuando tenga más que decir.

Onsager comienza utilizando el modelo 1D para ilustrar su metodología y fijar algunas notaciones, así que voy a seguirle pero utilizaré algunas notaciones más "modernas".

En el modelo Ising 1D, sólo interactúan los espines vecinos, por lo que la energía de las interacciones está representada por

$$E=-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}$$

donde $J$ es la fuerza de interacción.

La función de partición es

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\ldots,\mu^{(N)}=\pm 1} e^{-\sum_k J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

Onsager señala que la exponencial puede verse como un componente matricial:

$$\langle \mu^{(k-1)}| V | \mu^{(k)} \rangle = e^{-J\mu^{(k)}\mu^{(k-1)}/kT}$$

La suma de partición se convierte en la traza de un producto de matrices en esta notación

$$Z = \sum_{\mu^{(1)},\mu^{(N)}=\pm 1} \langle \mu^{(1)}| V^{N-1} | \mu^{(N)} \rangle$$

Así que para las grandes potencias $N$ de $V$ el valor propio más grande dominará. En este caso, $V$ es sólo un $2\times 2$ y el mayor valor propio es $2\cosh(J/kT)=2\cosh(H)$ , presentando $H=J/kT$ .

Ahora, para construir el modelo Ising 2D, Onsager propone construirlo añadiendo una cadena 1D a otra cadena 1D, y luego repetir el procedimiento para obtener el modelo 2D completo.

En primer lugar, señala que la energía de la nueva cadena añadida $\mu$ dependerá de la cadena $\mu'$ al que se le añade lo siguiente:

$$E = -\sum_{j=1}^n J \mu_j \mu'_j $$

Pero si exponenciamos esto para ir a la fórmula de partición, obtenemos el $n$ de la matriz que definimos anteriormente, por lo que utilizando la notación que Onsager introdujo allí

$$ V_1 = (2 \sinh(2H))^{n/2} \exp(H^{*}B)$$

con $H^{*}=\tanh^{-1}(e^{-2H})$ y $B=\sum_j C_j$ con $C_j$ el operador matricial que funciona en una cadena de la siguiente manera

$$C_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = |\mu_1,\ldots,-\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle $$

Luego, para tener en cuenta la contribución energética de los espines dentro de una cadena, señala que la energía total es

$$E = -J' \sum_{j=1}^n \mu_j\mu_{j+1}$$

añadiendo periodicidad, es decir, la $n$ El segundo átomo es vecino del primero. También hay que tener en cuenta que la fuerza de interacción no debe ser igual a la fuerza de interacción entre cadenas. Introduce nuevos operadores matriciales $s_j$ que actúan en una cadena como

$$s_j|\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle = \mu_j |\mu_1,\ldots,\mu_j,\ldots,\mu_n \rangle $$

y de esta manera construye una matriz

$$V_2 = \exp(H'A) = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1})$$

Ahora, el modelo 2D puede construirse añadiendo una cadena mediante la aplicación de $V_1$ y luego definir las interacciones internas utilizando $V_2$ . Así se obtiene la siguiente cadena de operaciones

$$\cdots V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1 V_2 V_1$$

Por lo tanto, está claro que la matriz a analizar en nuestro modelo 2D es $V=V_2 V_1$ . Este es nuestro nuevo problema de valores propios:

$$\lambda | \mu_1,\ldots,\mu_n \rangle = \exp(H'\sum_j s_j s_{j+1}) \sum_{\mu'_1,\ldots,\mu'_n=\pm 1} \exp(H\sum_j \mu_j \mu'_{j})| \mu'_1,\ldots,\mu'_n \rangle$$

Ahora entran en juego los cuaterniones. Onsager señala que los operadores $s_j$ y $C_j$ construido forman un álgebra de cuaterniones.

Básicamente, los elementos de base $(1,s_j,C_j,s_jC_j)$ generar los cuaterniones y ya que para diferentes $j$ Si los operadores conmutan, tenemos un producto tensorial de cuaterniones y, por tanto, un álgebra de cuaterniones.

-- Para ser continuado --

Answer 4

No es por decir lo obvio, pero parece que la información en el scholaropaedia artículo que @marek mencionó en su respuesta, es más completo que cualquier respuesta que yo o cualquier otra persona pueda dar.

Citando este artículo "hay cinco métodos diferentes que se han utilizado para calcular la energía libre del modelo de Ising". Para más detalles, lo mejor es consultar el enlace anterior. Cualquier otra cosa que añada será sólo una repetición.

En cuanto a la recompensa, debería ser para Barry McCoy, el autor del artículo de la scholaropaedia ;)