En geometría diferencial, el espacio tangente se define como una generalización de derivadas direccionales, que a su vez se definen como funcionales siguiendo la regla del producto de Leibniz.
Entiendo todas las pruebas, pero ¿cuál es la intuición detrás de la elección de la regla del producto para capturar la noción de derivados, en lugar de cualquier otra propiedad?
Una forma de pensar en las derivaciones es como automorfismos infinitesimales del anillo de funciones: Si $T$ es un operador en funciones que está muy cerca de la identidad, entonces escriba $Tf=f+Df$; si $T$ conserva la multiplicación y la suma, entonces $T(fg)=(Tf)(Tg)$ así que $D(fg)=(Df)g+f(Dg)$ aproximadamente.
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