Encontrar todos $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ satisfaciendo $ f \bigl ( f ( x ) f ( y ) \bigr ) + f ( x + y ) = f ( x y ) $ para todos $ x , y \in \mathbb R $

Question

Buscar todas las funciones $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ tal que para todos los reales $ x $ y $ y $ : $$ f \bigl ( f ( x ) f ( y ) \bigr ) + f ( x + y ) = f ( x y ) \text . $$

Fue hace seis horas en IMO 2017 (problema 2).

Lo intenté de la forma habitual: $ x = 0 $ , $ x = y $ , $ x = 1 $ etc., pero sin éxito.

Sea $ f ( 0 ) = a $ . Por lo tanto, para todo $ x \in \mathbb R $ tenemos $ f \bigl ( a f ( x ) \bigr ) + f ( x ) = a $ . ¿Cuál es el resto?

También tenemos $$ ( x - 1 ) ( y - 1 ) - 1 + x + y - 1 = x y - 1 $$ y $$ 1 - ( 1 - x ) ( 1 - y ) + 1 - x - y = 1 - x y \text . $$

Answer 1

$$ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \ \ \ (1)$$ Sea $f(0)=c$ . Elija $x=y=0$ podemos obtener $$f(c^2)=0.\ \ \ (2)$$ Elija $y=0$ podemos obtener $$f(cf(x))+f(x)=c.\ \ \ (3)$$ Elija $y=\frac{x}{x-1}(x\neq 1)$ podemos obtener
$$f\left(f(x)f\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)=0(x\neq 1).\ \ \ (4)$$

En $c=0$ de la ecuación $(3)$ obtenemos $f(x)=0.$

En $c\neq 0$ es decir $f(0)\neq 0$ . Ecuación de forma $(4)$ sabemos que existe $x_0\neq0$ tal que $f(x_0)=0.$

Afirmamos que : $x_0=1$ .

En caso contrario, elija $x=x_0$ en la ecuación $(4)$ obtenemos $f(0)=0$ lo cual es una contradicción.

Ecuación combinada $(2)$ sabemos $c=1$ o $-1$ .

Si $c=1$ es decir $f(0)=1,$ elija $y=1$ en equqción $(1)$ obtenemos $f(x+1)=f(x)-1$ . Así que $f(n)=1-n$ y $f(x+n)=f(x)-n$ para todos $n\in Z$ . Por ecuación $(1)$ obtenemos $$f(f(x)f(y)+1)+f(x+y+n)=f(xy+n+1).\ \ \ (5)$$ A continuación demostramos que: $f$ es inyectiva. Si $f(a)=f(b)$ elija un número entero $n$ tal que $(b-n)^2>4(a-n-1)$ , tal que existe $x_0,y_0$ statisfying $$x_0y_0+n+1=a,x_0+y_0+n=b.$$ De la ecuación $(5)$ obtenemos $f(x_0)f(y_0)+1=1$ Así que $f(x_0)=0$ o $f(y_0)=0$ es decir $x_0=1$ o $y_0=1$ y esto implica $a=b$ que es la inyectividad de la función $f$ .

De la ecuación $(3)$ sabemos $f(f(x))=1-f(x)$ . Por un lado, $f(f(f(x)))=1-f(f(x))=1-(1-f(x))=f(x);$ por otro lado, $f(f(f(x)))=f(1-f(x))$ . Inyectividad de $f$ implica $f(x)=1-x.$

Si $c=-1$ podemos obtener $f(x)=x-1$ de la misma manera que en el caso anterior.

En conclusión, todas las soluciones de la ecuación fucntioanl son las siguientes: $$f(x)=0; f(x)=1-x; f(x)=x-1.$$