Evaluación de la integral $ \int_0^1 \frac{e^{-y^2(1+v^2)}}{(1+v^2)^n}dv$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral
$$ \int_0^1 \frac{e^{-y^2(1+v^2)}}{(1+v^2)^n}dv = e^{-y^2}\int_0^1 \frac{e^{-y^2v^2}}{(1+v^2)^n}dv $$ para $n\in \mathbb{N}$ Para n=1 se encuentra Función T de Owen es decir \begin{align} \int_0^1 \frac{e^{-y^2(1+v^2)}}{(1+v^2)}dv=2\pi \operatorname{T}\left(\sqrt{2} y,1\right) = \frac{\pi}{2} \operatorname{erfc}(y) \left(1 - \frac{1}{2} \operatorname{erfc}(y)\right) \end{align} Una buena fuente sobre la función T de Owen es [ 2 ]. En [ 3 ] afirman que \begin{align} \int \frac{e^{-v^2}}{v^2 + 1} dv , \end{align} no tiene antiderivada. Por lo tanto, no sospecho que se pueda encontrar una para nuestra integral.

Esta integral ocurre en una serie sobre la que estoy integrando para una aproximación que estoy realizando. Por lo tanto, ya estaría bien si pudiera encontrar el segundo (n=2) y tercer (n=3) término. ¿Tiene alguien alguna idea de cómo evaluar la integral? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Transformé su integral. Tal vez esto sea útil. Ten en cuenta que: $$\int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-(1+v^{2})x}dx=\frac{\Gamma(n) }{(1+v^{2})^{n}}$$$$\int_{0}^{1}e^{-v^{2}a}dv=\frac{\sqrt{\pi}\operatorname{erf}\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}.$$ Por lo tanto, la solución es, $$\int_{0}^{1 }\frac{e^{-y^{2}(1+v^{2})}}{(1+v^{2})^{n}}dv=\frac{1}{\Gamma(n) }\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty }e^{-(1+v^{2})y^{2}}x^{n-1}e^{-(1+v^{2})x}dvdx$$$$\frac{e^{-y^{2}}}{\Gamma(n) }\int_{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}(\int_{0}^{1}e^{-v^{2}(x+y^{2})}dv)dx=\frac{\sqrt{\pi}e^{-y^{2}}}{2\Gamma(n) }\int_{0}^{\infty }\frac{x^{n-1}e^{-x}\operatorname{erf}\sqrt{x+y^{2}}}{\sqrt{x+y^{2}}}dx.$$