Estoy leyendo Funciones elípticas e integrales elípticas por Prasolov y Solovyev. En la página $53$ , se lee:
La elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ se puede dar de forma paramétrica mediante las fórmulas $x=a\cos \varphi$ , $y=b\sin\varphi$ . El diferencial $dl$ de la longitud de un arco en la elipse es igual a $\sqrt{dx^2+dy^2}=d\varphi\sqrt{a^2\cos ^2\varphi +b^2\sin ^2\varphi}$ . Si $a=1$ y $b=\sqrt{1-k^2}$ entonces $dl=d\varphi \sqrt{1-k^2\sin ^2\varphi}$ . En este caso la longitud del arco en la elipse entre el punto final del semieje pequeño, $B$ y el punto $M=(\cos\varphi ,b\sin\varphi )$ es igual a $E (\varphi )=\int_0^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin ^2\psi}\, d\psi .$
Creo que hay un error. Mi planteamiento es el siguiente:
La mitad superior de la elipse (están los puntos $B$ y $M$ ) puede representarse mediante $y=b\sqrt{1-x^2}$ . La longitud del arco, medida desde el punto $B=(0,b)$ a un punto arbitrario del primer cuadrante $M$ en términos de la componente horizontal de $M$ es $$s=\int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\, dt$$ donde $b=\sqrt{1-k^2}$ . La sustitución $u=\arcsin t$ da $$s=\int_0^{\arcsin x}\sqrt{1-k^2\sin ^2 u}\, du.$$ La elipse está parametrizada por $x=\cos\varphi$ , $y=b\sin\varphi$ Por lo tanto, si $M=(\cos\varphi ,b\sin\varphi )$ entonces $$\begin{align}s&=\int_0^{\arcsin \cos\varphi}\sqrt{1-k^2\sin ^2 u}\, du\\&=\int_0^{\frac{\pi}{2}-\varphi}\sqrt{1-k^2 \sin ^2 u}\, du.\end{align}$$
Por lo tanto, la longitud de arco requerida debe ser $E\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)$ , no $E(\varphi )$ . Una cantidad considerable de los siguientes teoremas en el libro se "demuestra" asumiendo $E (\varphi )$ para la longitud del arco, lo que parece un poco preocupante. Tal vez me estoy perdiendo algo.
