¿El espacio vectorial de $n \times n$ ¿las matrices tienen una base de matrices no singulares?

Question

Dejemos que $M_n$ denotan el espacio vectorial de matrices n × n sobre un campo que puede ser los reales o los números complejos. ¿Se puede decir que $M_n$ tienen una base formada por matrices no singulares?

Answer 1

Sí. Toma cualquier base $B_1, \ldots, B_{n^2}$ de $M_n$ . Hay $\epsilon > 0$ tal que para cualquier conjunto $C_1, \ldots, C_{n^2}$ con $\|C_i - B_i\| < \epsilon$ para todos $i$ es una base. Como las matrices no singulares son densas, podemos elegir la $C_i$ para ser todos no singulares.

Answer 2

La siguiente base funciona sobre cualquier campo. Denotemos por $E_{ij}$ la matriz con un $1$ en el $(i,j)$ -ésima posición y cero en el resto. Denotemos por $C$ la matriz de permutación circulante tal que $c_{12}=c_{23}=\cdots=c_{n-1,n}=c_{n1}=1$ y $c_{ij}=0$ en otro lugar. Consideremos ahora el conjunto de matrices $\mathcal B$ que consiste en $I,\,I+E_{ij}$ por cada $i\ne j$ y $C+E_{ii}=C(I+E_{i+1,i})$ por cada $i<n$ . Sea $V=\operatorname{span}(\mathcal B)$ . Entonces

• $E_{ij}=(I+E_{ij})-I\in V$ para todos $i\ne j$ ,
• $E_{ii}=(C+E_{ii})-(E_{12}+E_{23}+\cdots+E_{n-1,n}+E_{n,1})\in V$ para cada $i<n$ ,
• $E_{nn}=I-(E_{11}+E_{22}+\cdots+E_{n-1,n-1})\in V$ .

Por lo tanto, $V=M_n$ . Dado que el conjunto de extensión $\mathcal B$ tiene $n^2$ miembros, es una base de $M_n$ .