En primer lugar, para responder a su pregunta, debe encontrar el Matriz jacobiana J entre los 2 conjuntos de coodinatos. Y luego dxdy=|J|drdθ , donde |J| es el determinante de la matriz jacobiana.
Hay un par de problemas más en su pensamiento
- Su integral original es 2-D, creo que es mejor sólo pensar z como una constante e ignorar la tercera coordenada z (o ϕ ) en la transformación
- f ya es un vector, entonces f′ es una notación muy confusa. Puede ser una matriz (gradiente) f′=[∂xf,∂yf,∂zf] Puede ser un vector (rizo) f′=∇×f También puede ser un escalar (divergencia) f′=∇⋅f
no estoy seguro de a cuál se refiere, pero supongo que es la tercera
- Me he dado cuenta de que θ no es una nueva variable que hayas definido, ya está en la definición de tu f función. ¿Es su definición de transformación de θ coherente con el significado de θ en f ¿función?
Por lo tanto, si se define la transformación entre x,y y r,θ como r=a(x2+y2)N/2tanθ=yx
Su matriz jacobiana es J=[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ]=[2Nr(ra)2/Ncosθ−(ra)2/Nsinθ2Nr(ra)2/Nsinθ(ra)2/Ncosθ]
así que
dxdy=|J|drdθ=2Nr(ra)4/Ndrdθ
Sólo una comprobación de cordura, cuando N=2,a=1 podemos observar que vuelve a caer en la forma de cooridnada polar dxdy=rdrdθ