Cómo transformar la integral después de la transformación de coordenadas

Question

Consideremos el sistema de coordenadas cartesianas con un vector $$f=(a(x^2+y^2)^{N/2}\cos(N\theta),a(x^2+y^2)^{N/2}\sin(N\theta),bz)$$ donde $a,b\in\mathbb{R}$ fijo y $N$ es un número entero.
Para $f'=f/|f|$ Quiero determinar la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f'\cdot\left(\frac{\partial f'}{\partial x}\times\frac{\partial f'}{\partial y}\right) dxdy.$$

Para ello, transformamos a coordenadas "casi esféricas"
$r=\sqrt{a^2(x^2+y^2)^N+b^2z^2}$
$\tan\theta=\frac{y}{x}$
$\tan\phi=\frac{a(x^2+y^2)^{N/2}}{bz}$
con $\theta\in[0,2\pi]$ , $\phi\in[0,\pi]$ .

¿Cómo reescribo la integral a estas nuevas coordenadas?

Me parece que $f=(r\sin\phi\cos(N\theta),r\sin\phi\sin(N\theta),r\cos\phi)$ y $f'=(\sin\phi\cos(N\theta),\sin\phi\sin(N\theta),\cos\phi)$ Pero, ¿cómo puedo reescribir $\frac{\partial f'}{\partial x}\times\frac{\partial f'}{\partial y}$ ?

Answer 1

En primer lugar, para responder a su pregunta, debe encontrar el Matriz jacobiana $\mathcal{J}$ entre los 2 conjuntos de coodinatos. Y luego $dxdy = |\mathcal{J}|drd\theta$ , donde $|\mathcal{J}|$ es el determinante de la matriz jacobiana.

Hay un par de problemas más en su pensamiento

• Su integral original es 2-D, creo que es mejor sólo pensar $z$ como una constante e ignorar la tercera coordenada $z$ (o $\phi$ ) en la transformación
• $f$ ya es un vector, entonces $f'$ es una notación muy confusa. Puede ser una matriz (gradiente) $$f' = [\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f]$$ Puede ser un vector (rizo) $$f' = \nabla \times f$$ También puede ser un escalar (divergencia) $$f' = \nabla \cdot f$$

no estoy seguro de a cuál se refiere, pero supongo que es la tercera

• Me he dado cuenta de que $\theta$ no es una nueva variable que hayas definido, ya está en la definición de tu $f$ función. ¿Es su definición de transformación de $\theta$ coherente con el significado de $\theta$ en $f$ ¿función?

Por lo tanto, si se define la transformación entre $x,y$ y $r,\theta$ como $$r = a(x^2 + y^2) ^{N/2} \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$

Su matriz jacobiana es $$\mathcal{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{Nr}(\frac{r}{a})^{2/N}\cos\theta & -(\frac{r}{a})^{2/N}\sin\theta \\ \frac{2}{Nr}(\frac{r}{a})^{2/N}\sin\theta & (\frac{r}{a})^{2/N}\cos\theta \\ \end{bmatrix}$$

así que

$$dxdy = |\mathcal{J}|drd\theta = \frac{2}{Nr}\left(\frac{r}{a}\right)^{4/N}drd\theta$$

Sólo una comprobación de cordura, cuando $N=2, a=1$ podemos observar que vuelve a caer en la forma de cooridnada polar $$dxdy = rdrd\theta$$