Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

1 votos

Cómo transformar la integral después de la transformación de coordenadas

Consideremos el sistema de coordenadas cartesianas con un vector f=(a(x2+y2)N/2cos(Nθ),a(x2+y2)N/2sin(Nθ),bz) donde a,bR fijo y N es un número entero.
Para f=f/|f| Quiero determinar la integral f(fx×fy)dxdy.

Para ello, transformamos a coordenadas "casi esféricas"
r=a2(x2+y2)N+b2z2
tanθ=yx
tanϕ=a(x2+y2)N/2bz
con θ[0,2π] , ϕ[0,π] .

¿Cómo reescribo la integral a estas nuevas coordenadas?

Me parece que f=(rsinϕcos(Nθ),rsinϕsin(Nθ),rcosϕ) y f=(sinϕcos(Nθ),sinϕsin(Nθ),cosϕ) Pero, ¿cómo puedo reescribir fx×fy ?

1voto

MoonKnight Puntos 951

En primer lugar, para responder a su pregunta, debe encontrar el Matriz jacobiana J entre los 2 conjuntos de coodinatos. Y luego dxdy=|J|drdθ , donde |J| es el determinante de la matriz jacobiana.

Hay un par de problemas más en su pensamiento

  • Su integral original es 2-D, creo que es mejor sólo pensar z como una constante e ignorar la tercera coordenada z (o ϕ ) en la transformación
  • f ya es un vector, entonces f es una notación muy confusa. Puede ser una matriz (gradiente) f=[xf,yf,zf] Puede ser un vector (rizo) f=×f También puede ser un escalar (divergencia) f=f

no estoy seguro de a cuál se refiere, pero supongo que es la tercera

  • Me he dado cuenta de que θ no es una nueva variable que hayas definido, ya está en la definición de tu f función. ¿Es su definición de transformación de θ coherente con el significado de θ en f ¿función?

Por lo tanto, si se define la transformación entre x,y y r,θ como r=a(x2+y2)N/2tanθ=yx

Su matriz jacobiana es J=[xrxθyryθ]=[2Nr(ra)2/Ncosθ(ra)2/Nsinθ2Nr(ra)2/Nsinθ(ra)2/Ncosθ]

así que

dxdy=|J|drdθ=2Nr(ra)4/Ndrdθ

Sólo una comprobación de cordura, cuando N=2,a=1 podemos observar que vuelve a caer en la forma de cooridnada polar dxdy=rdrdθ

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X