En primer lugar, para responder a su pregunta, debe encontrar el Matriz jacobiana $\mathcal{J}$ entre los 2 conjuntos de coodinatos. Y luego $dxdy = |\mathcal{J}|drd\theta$ , donde $|\mathcal{J}|$ es el determinante de la matriz jacobiana.
Hay un par de problemas más en su pensamiento
- Su integral original es 2-D, creo que es mejor sólo pensar $z$ como una constante e ignorar la tercera coordenada $z$ (o $\phi$ ) en la transformación
- $f$ ya es un vector, entonces $f'$ es una notación muy confusa. Puede ser una matriz (gradiente) $$ f' = [\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f] $$ Puede ser un vector (rizo) $$ f' = \nabla \times f $$ También puede ser un escalar (divergencia) $$ f' = \nabla \cdot f $$
no estoy seguro de a cuál se refiere, pero supongo que es la tercera
- Me he dado cuenta de que $\theta$ no es una nueva variable que hayas definido, ya está en la definición de tu $f$ función. ¿Es su definición de transformación de $\theta$ coherente con el significado de $\theta$ en $f$ ¿función?
Por lo tanto, si se define la transformación entre $x,y$ y $r,\theta$ como $$ r = a(x^2 + y^2) ^{N/2} \quad \tan\theta = \frac{y}{x} $$
Su matriz jacobiana es $$ \mathcal{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{Nr}(\frac{r}{a})^{2/N}\cos\theta & -(\frac{r}{a})^{2/N}\sin\theta \\ \frac{2}{Nr}(\frac{r}{a})^{2/N}\sin\theta & (\frac{r}{a})^{2/N}\cos\theta \\ \end{bmatrix} $$
así que
$$ dxdy = |\mathcal{J}|drd\theta = \frac{2}{Nr}\left(\frac{r}{a}\right)^{4/N}drd\theta $$
Sólo una comprobación de cordura, cuando $N=2, a=1$ podemos observar que vuelve a caer en la forma de cooridnada polar $$ dxdy = rdrd\theta $$
