Pregunta sobre la descomposición polar. ¿Está el libro equivocado?

Question

Una introducción a la clasificación de las álgebras C* amenas.

página 140 Lemma 3.5.1 Sea $x\in A$ con la descomposición polar $x=u|x|$ en $A''$ y $B=\overline{x^*Ax}$ . Entonces $ub\in B$ por cada $b\in B$ .

$A''$ se refiere al álgebra C* envolvente de $A$ el cierre débil de $A$ en $B(H)$ donde $A$ está universalmente representada. Pero esto no es importante.

Dejemos que $A$ sea $B(l^2(\mathbb N))$ y que $x$ sea el operador de desplazamiento tal que $x(e_j)=e_{j-1}$ . Entonces $\overline {x^*Ax}=B(0\oplus l^2(\mathbb N^+))$ (en relación con $B(0\oplus l^2(\mathbb N^+))$ como una subálgebra de $B(l^2(\mathbb N))$ ). Dado que $x$ es una isometría parcial propia por lo que $x=x|x|$ y $|x|$ es la proyección sobre $0\oplus l^2(\mathbb N^+)$ . Sin embargo, $x=x|x|\not\in \overline{x^*Ax}$ ya que ningún elemento de $\overline{x^*Ax}=\overline{|x|A|x|}$ tiene un rango mayor que $0\oplus l^2(\mathbb N^+)$ .

¿Estoy equivocado, o el libro está equivocado?

Answer 1

Tengo la impresión de que Lin quería que su Lemma dijera:

Lema 3.5.1 . Sea $x\in A$ con la descomposición polar $x=u|x|$ en $A''$ . Además, deja que $B_1=\overline{x^*Ax}$ y $B_2=\overline{xAx^*}$ . Entonces $uB_1u^*\subseteq B_2$ .

He aquí una demostración de este resultado dividida en lemas, cada uno de los cuales puede tener algún interés en sí mismo.

Lema 1 . $x = \lim_n x(x^*x)^{1/n}$ .

Prueba . Calcula $\Vert x - x(x^*x)^{1/n}\Vert ^2$ utilizando la identidad C* $\Vert y\Vert ^2 = \Vert y^*y\Vert $ .

Lema 2 . Para cada $\alpha >0$ uno tiene que $u(x^*x)^\alpha = (xx^*)^\alpha u\in A$ .

Prueba . Como ambos lados desaparecen en el núcleo de $x$ (visto en cualquier representación fiel del espacio de Hilbert), basta con mostrar que coinciden en $$ \text{Ker}(x)^\perp = \overline{\text{Ran}(x^*)} = \overline{ \text{Ran}(|x|)}. $$ Tenemos $$ u(x^*x)^\alpha |x| = u|x| (x^*x)^\alpha = x (x^*x)^\alpha = (xx^*)^\alpha x = (xx^*)^\alpha u|x|. $$

Esto demuestra la identidad en el enunciado, así que demostremos ahora que $u(x^*x)^\alpha \in A$ .

Aproximar la función $f(t)=t^{2\alpha}$ en el espectro de $|x|$ por un polinomio $p$ sin término constante y por lo tanto podemos escribir $p(t) = t q(t)$ para algún otro polinomio $q$ . Entonces $$ u(x^*x)^\alpha = u |x|^{2\alpha} \sim u p(|x|) = u |x| q(|x|) = x q(|x|) \in A. $$ QED.

Lema 3 . $ux^*\in \overline{xA}$ .

Prueba . $$ ux^* = \lim_n u(x^*x)^{2/n}x^* = \lim_n (xx^*)^{1/n}u(x^*x)^{1/n}x^* \in \overline{xA}. $$ QED

Por lo tanto, el resultado que necesitamos, a saber $$ ux^*Axu^* \subseteq \overline{xAx^*} $$ sigue fácilmente.

Answer 2

Sí, el libro está equivocado. Se suponía que era $ub \in A$ para todos $b \in B$ .

Véase también el libro de Farah Corolario 1.6.13.