Supongamos que hay $75$ puntos dentro de un cubo unitario de manera que no haya tres puntos colineales. Demostrar que es posible elegir tres puntos de los dados anteriormente que formen un triángulo con el área a lo sumo $\frac{7}{12}$ . ¿Cómo es posible obtener el área del triángulo a partir de estos datos? Por favor, ayuda. Gracias de antemano.
Respuestas
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John White
Puntos
86
Dividir el cubo unitario en 27 cubos de tamaño $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$ .
Por el principio de encasillamiento, uno de estos cubos contiene 3 de los 75 puntos. Por la condición dada, estos puntos no son colineales. Por lo tanto, forman un triángulo
En un cubo de lado $a$ el área máxima de un triángulo que puede caber en él es $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$ .
Para el lado $\frac{1}{3}$ Esto es $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$
Por lo tanto, estos tres puntos forman un triángulo de área inferior a $\frac{7}{12}$
lino
Puntos
142
Elige los puntos $(0,0,0)$ y $(1,1,z)$ y $(1,1,0)$ . El área de este triángulo es $\frac{z}{\sqrt 2}$ .
Ahora elige $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$
Hay infinitas formas de colocar los 72 puntos restantes, por lo que deberían existir formas de hacer que ningún 3 punto no sea colineal.
Los puntos restantes pueden estar, por ejemplo, en el plano $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ y formar una forma circular.
