Comprender los componentes y la derivada vectorial en coordenadas curvilíneas generales

Question

Estoy estudiando cálculo vectorial introductorio y necesito confirmar/aclarar mis conceptos. La definición de la derivada de un vector (por ejemplo en $\mathbb{R}^2$ ) si los vectores unitarios son constantes en todo el espacio 2D es en términos de sus componentes: si tenemos $\mathbb{r}(t)=(x(t), y(t))$ en la base cartesiana estándar entonces

$$\frac{d\mathbb{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\mathbb{e}_x+\frac{dy}{dt}\mathbb{e}_y$$

Ahora, si pasamos a coordenadas polares $\rho, \phi$ entonces los vectores base unitarios $\mathbb{e}_{\rho},\mathbb{e}_{\phi}$ cambiará de dirección dependiendo de la ubicación en el espacio 2D. Para definir la derivada en este caso, el libro que estoy estudiando da el siguiente método rápido: vemos que $\mathbb{r}=\rho \mathbb{e}_{\rho}$ (donde $\rho$ es la distancia del extremo del vector al origen), lo que significa que $$\frac{d\mathbb{r}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\mathbb{e}_{\rho}+\rho\frac{d\mathbb{e}_{\rho}}{dt}$$

Hasta ahora, todo va bien: $\frac{d\rho}{dt}$ se puede calcular ya que podemos expresar $\rho$ en términos de $x(t)$ y $y(t)$ y diferenciar esa expresión con respecto a $t$ . En este caso concreto, también podemos expresar $\mathbb{e}_{\rho}=(\cos\phi)\mathbb{e}_x + (\sin\phi)\mathbb{e}_y$ . Resulta que $$\frac{d\mathbb{e}_{\rho}}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\mathbb{e}_{\phi}$$ debido a la forma específica $\mathbb{e}_{\rho}$ y $\mathbb{e}_{\phi}$ se definen en términos de $\mathbb{e}_x$ y $\mathbb{e}_y$ .

Expresando el mismo vector $\mathbb{r}$ en un sistema general de coordenadas curvilíneas $u,v$ ,

Para empezar a diferenciar $\mathbb{r}$ necesitamos encontrar los componentes de $\mathbb{r}$ en el nuevo sistema. Yo suponiendo que la forma de identificar $\mathbb{r}$ es identificarla como la intersección de dos curvas de coordenadas $u=c_1$ y $v=c_2$ - en este caso, $u=5$ y $v=4$ . ¿Es correcto lo que he entendido? ¿Es esta la forma de identificar las componentes de un vector en un sistema curvilíneo?

Así que si tenemos algunas funciones diferenciables $f,g$ tal que $u=f(x,y)$ y $v=g(x,y)$ y $\mathbb{r}=u\mathbb{e}_u+v\mathbb{e}_v$ entonces $$\frac{d\mathbb{r}}{dt}=\frac{du}{dt}\mathbb{e}_u+u\frac{d\mathbb{e}_u}{dt}+\frac{dv}{dt}\mathbb{e}_v+v\frac{d\mathbb{e}_v}{dt}$$

$\frac{du}{dt}$ puede identificarse como $\frac{df(x(t),y(t))}{dt}$ y puede ser evaluado. ¿Cómo se expresan, en general, los vectores base $\mathbb{e}_u$ y $\mathbb{e}_v$ en términos de $\mathbb{e}_x$ y $\mathbb{e}_y$ ? Y aunque consigamos definir los vectores base curvilíneos en términos de $\mathbb{e}_x,\mathbb{e}_y$ , no es necesario que obtengamos una buena expresión para $\frac{d\mathbb{e}_u}{dt}$ y $\frac{d\mathbb{e}_v}{dt}$ en términos de $\mathbb{e}_u$ y $\mathbb{e}_v$ . ¿Cómo obtenemos las componentes curvilíneas de $\frac{d\mathbb{r}}{dt}$ ¿en ese caso?

Answer 1

Esto puede ayudar o no, pero podemos escribir $$d \vec r=\frac{\partial \vec r}{\partial u}du+\frac{\partial \vec r}{\partial v}dv+\frac{\partial \vec r}{\partial w}dw$$ Pero por definición de los vectores base en el $u, v, w$ sistema, $$d \vec r=\vec e_udu+\vec e_vdv+\vec e_wdw$$ Por lo tanto, tenemos $$\vec e_u=\frac{\partial \vec r}{\partial u}$$ y así sucesivamente. Pero $$\frac{\partial \vec r}{\partial u}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial z}$$ Así que $$\vec e_u=\frac{\partial x}{\partial u}\vec e_x+\frac{\partial y}{\partial u}\vec e_y+\frac{\partial z}{\partial u}\vec e_z$$ y de forma similar para $\vec e_v$ y $\vec e_w$ .

Answer 2

Para obtener los vectores unitarios en coordenadas cartesianas, defina $\boldsymbol{r} = x e_x + y e_y$ y calcular las derivadas parciales $$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} = e_x \quad \text{and} \quad \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y} = e_y.$$ Supongamos ahora que la transformación de coordenadas viene dada por una función localmente invertible $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f^1(u,v) \\ f^2(u,v)\end{pmatrix}.$$ Introduciendo las funciones de transformación en $\boldsymbol{r}$ y tomando las derivadas, se obtiene $$\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} = \frac{\partial f^1(u,v)}{\partial u}e_x + \frac{\partial f^2(u,v)}{\partial u}e_y =\boldsymbol{r}_u \quad \text{and} \quad \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} = \frac{\partial f^1(u,v)}{\partial v}e_x + \frac{\partial f^2(u,v)}{\partial v}e_y = \boldsymbol{r}_v.$$ Ahora sólo hay que normalizar $\boldsymbol{r}_u$ y $\boldsymbol{r}_v$ para obtener los vectores de base ortonormal $e_u$ y $e_v$ que se expresan en términos de la base canónica.

Los componentes curvilíneos de $\dot{\boldsymbol{r}}$ son bastante fáciles de obtener. El truco consiste en utilizar la regla de la cadena: $$\dot{\boldsymbol{r}} = \left(\frac{\partial f^1}{\partial u} \dot{u} + \frac{\partial f^1}{\partial v}\dot{v}\right)e_x + \left(\frac{\partial f^2}{\partial u}\dot{u} + \frac{\partial f^2}{\partial v} \dot{v}\right)e_y.$$ La reordenación da lugar a $$\dot{\boldsymbol{r}} = \left(\frac{\partial f^1}{\partial u} e_x + \frac{\partial f^2}{\partial u}e_y\right) \dot{u} + \left(\frac{\partial f^1}{\partial v} e_x + \frac{\partial f^2}{\partial v}e_y\right) \dot{v} = \boldsymbol{r}_u \dot{u} + \boldsymbol{r}_v \dot{v}.$$