Contraejemplo a "Medibles en cada variable por separado implica medibles"

Question

Algunos compañeros se están preparando para un examen de calificación en el análisis real, y me pidió ayuda en la siguiente pregunta:

Deje $ \ f:[0,1]^2\longrightarrow\mathbb{R}$ ser tal que:

(i) $\ f(x,\cdot)$ es medible para cada uno de ellos fijo $x\in[0,1]$;

(ii) $\ f(\cdot,y)$ es continua para cada uno de ellos fijo $y\in[0,1]$.

Mostrar que $\ f$ es medible. Si sólo suponemos que $\ f(\cdot,y)$ es medible para cada una de las $y\in[0,1]$, en vez de continua, aun así, podemos concluir que $f$ es medible?

Yo era capaz de llegar con la siguiente prueba simple (al menos espero que sea una prueba) de la primera declaración usando algún tipo de norma argumentos:

Prueba. $ \ $ Definir una secuencia de funciones de $\{f_n:[0,1]^2\longrightarrow\mathbb{R}\}_{n\geq 1}$ por:

$$ f_n(x,y)=f\bigg(\frac{i}{n},y\bigg), \qquad \text{for } x\in\bigg[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\bigg], \ i=1,\cdots,n $$

Por otra parte, desde la $ \ f(\cdot,y)$ es continua en a $x=\tfrac{i}{n}$ por cada $y$, para cada una de las $\epsilon>0$ no es un porcentaje ( $\delta_y>0$ , de modo que

$$ \bigg| \ x-\frac{i}{n}\bigg|<\delta_y \qquad\Rightarrow\qquad \bigg| \ f(x,y)-f\bigg(\frac{i}{n},y\bigg)\bigg|<\epsilon; $$

por lo tanto, para cualquier $n>\tfrac{1}{\delta_y}$ y fijos $(x,y)\in[0,1]^2$$x\in\big[\tfrac{i}{n},\tfrac{i+1}{n}\big]$, tenemos

$$ \bigg| \ x-\frac{i}{n}\bigg|\leq \frac{1}{n}<\delta_y $$

y así

$$ | \ f_n(x,y)-f(x,y)|=\bigg| \ f\bigg(\frac{i}{n},y\bigg)-f(x,y)\bigg|<\epsilon. \tag{$\ast$} $$

En otras palabras, $ \ f_n\longrightarrow f$ pointwise. Además, claramente tenemos que

$$ A_n:=\{(x,y)\in[0,1]^2 \ | \ f_n(x,y)>\alpha\} \qquad\qquad\qquad $$

$$ \qquad\qquad \ =\bigcup_{i=1}^{n-1}\bigg(\bigg[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\bigg)\times \bigg\{y\in[0,1] \ \bigg| \ \ f\bigg(\frac{i}{n},y\bigg)>\alpha \bigg\}\bigg). $$

Desde $ \ f\big(\tfrac{i}{n},\cdot\big)$ es medible para cada una de las $i=1,\cdots,n$, la última expresión es una unión de conjuntos medibles. Esto significa que $ \ A_n$ es medible, y por lo tanto $ \ f_n$ es medible para cada una de las $n\geq 1$. Finalmente, como el límite de funciones medibles es medible, llegamos a la conclusión de que $ \ f$ es medible.

$\hspace{6.25in}\square$

Estoy bastante seguro de que la prueba es correcta (importarle a alguien para confirmar?); sin embargo, que aún queda lo siguiente:

Pregunta: Si $ \ f$ es meramente medibles en cada variable por separado, es medible?

La prueba me dio por encima de los usos de la continuidad de la asunción en $(\ast)$, por lo que, obviamente, el mismo de la prueba no funcionará en este caso, pero yo no puede venir con contraejemplos. Alguna sugerencia?

Answer 1

Si $f$ es meramente medibles en cada variable por separado, es medible?

No necesariamente.

Para un contraejemplo, corregir algunos no medibles subconjunto $E$ $[0,1]$ y definen $f(x,y)=0$ por cada $(x,y)$$[0,1]\times[0,1]$, con la excepción de que $f(x,x)=1$ si $x$$E$.

A continuación, para cada $x$, $f(x,\ )=0$ en todas partes o $f(x,\ )=0$ todas partes, excepto en $x$, por lo tanto $f(x,\ )$ es medible. De la misma manera por $f(\ ,y)$, para cada $y$$[0,1]$.

Pero, si $f$ era mensurable, teniendo en cuenta la función medible $g:x\mapsto(x,x)$, uno podría obtener una función medible $f\circ g$$[0,1]$. Desde $f\circ g=\mathbf 1_E$ no es medible, $f$ no es mensurable.

Answer 2

Esto no es debido a una función toma los valores de $0$ $1$ que podemos declarar lo que es mensurable; ella, las funciones parciales de $f$ no lo son. Fix $y$. El conjunto de puntos de $x$ tales que el primer parcial de la función de $x\mapsto f(x,y)$ es de menos de $1$ es igual a $E\setminus \lbrace y\rbrace$, lo que no es mensurable. Por lo tanto $f$ no está separado medibles. J. Yeh, en su "análisis Real, la teoría de la medida e integración", 3ed edición, Appandix E, demuestra que estas funciones, es decir, por separado medibles funciones, son medibles. Pero no estoy seguro de si su prueba es correcta...