A categoría homotópica es una categoría $\mathsf{C}$ equipado con una subcategoría $\mathrm{core}(\mathsf{C}) \hookrightarrow \mathsf{W} \hookrightarrow \mathsf{C}$ de manera que las flechas de $\mathsf{W}$ cumplen la regla de 2 de 6. Las flechas de $\mathsf{W}$ se denominan equivalencias débiles, y un functor homotópico entre categorías homotópicas es un functor que preserva las equivalencias débiles de la manera obvia. Esto da una categoría $\mathsf{HomoCat}$ de categorías homotópicas y funtores homotópicos. Esto debería heredar naturalmente la estructura de una categoría 2 de $\mathsf{Cat}$ .
Tomando la localización con respecto a las equivalencias débiles, obtenemos un functor $\mathrm{Ho}: \mathsf{HomoCat} \to \mathsf{Cat}$ .
Dada cualquier categoría $\mathsf{D}$ podemos tomar las equivalencias débiles mínimas $\mathsf{W}= \mathrm{core}(\mathsf{D})$ y esto nos da un functor totalmente fiel $\mathsf{Cat} \hookrightarrow \mathsf{HomoCat}$ que convierte a cada categoría en una categoría mínima homotópica.
También podemos definir un functor de categoría homotópica "maximal" totalmente fiel $\mathsf{Cat} \hookrightarrow \mathsf{HomoCat}$ que hace que todo morfismo en una categoría $\mathsf{D}$ en una equivalencia débil: $\mathsf{W}= \mathsf{D}$ .
Dado que se trata de categorías de 2, ¿son estos funtores parte de 2-adjunciones? No tengo mucha experiencia con las categorías superiores, así que no estoy completamente seguro de lo que implicaría exactamente una 2-adjunción. De todos modos, esta es mi conjetura: por analogía con las adjunciones discretas, olvidadas y codiscretas en topología, yo supondría que $\mathrm{Ho}$ es adjunto a la derecha del funtor "mínimo" y adjunto a la izquierda del funtor "máximo".
¿Es correcta mi conjetura? Estoy empezando a leer el libro de Emily Riehl sobre la teoría de homotopía categórica, y estaba pensando en esto después de ver la definición de categorías homotópicas en el capítulo 2.
