¿Cómo encontrar el número de encuentro de dos secuencias?

Question

¿Cómo encuentro el mismo número de las siguientes dos secuencias?

¿Podrán estas dos secuencias producir algún número común? Si no es así, ¿cuál será el posible número cercano en el que se van a encontrar?

secuencia 1:

$1805$ , $1814$ , $1823$ , $\dots$

secuencia 2:

$1394$ , $1409$ , $1424$ , $\dots$

Answer 1

Una pista: El $n$ -El término número 1 de la primera secuencia es $1805+9(n-1)$ y el $n$ -El término de la segunda es $1394+15(n-1)$ .

Answer 2

Añadido: Esta respuesta se basa en el entendimiento de que se quiere encontrar el primer número que pertenece a ambas secuencias, sin importar en qué lugar de cada una de ellas aparezca. En otras palabras, si tus secuencias fueran $\langle 1,4,7,10,\dots\rangle$ y $\langle 5,7,9,11,\dots\rangle$ mi respuesta sería $7$ aunque sea el tercer término de la primera secuencia y sólo el segundo término de la segunda. Si además quieres que el número coincidente aparezca en el mismo lugar en ambas secuencias, eso es imposible; consulta la respuesta de André para más detalles.

Su primera secuencia contiene los números $1805+9k$ para $k=0,1,2,\dots$ y el segundo contiene los números $1394+15k$ para $k=0,1,2,\dots$ . Por lo tanto, la pregunta es si hay enteros no negativos $m$ y $n$ tal que $$1805+9m=1394+15n\tag{1}\;.$$ Ecuación $(1)$ equivale a $$15n-9m=411\;,$$ que se puede dividir por $3$ para rendir $$5n-3m=137\;.\tag{2}$$ Ecuación $(2)$ es un estándar ecuación lineal diofantina ya que $3$ y $5$ son relativamente primos, tiene infinitas soluciones, que se pueden encontrar con la algoritmo euclidiano ampliado .

Alternativamente, si puede encontrar una solución por inspección, puede utilizar La identidad de Bézout para escribir la solución general. En este caso puedo ver que $5\cdot28-3\cdot1=137$ Por lo tanto, una solución es $n=28,m=1$ , dando lugar al término común $1394+15\cdot28=1805+9\cdot1=1814$ . La solución general es entonces

$$\left\{\begin{align*} m&=1+5k\\ n&=28+3k \end{align*}\right.\;,$$

y los números que coinciden en las dos secuencias son números de la forma $1814+45k$ para $k=0,1,2,\dots$ . En particular, la primera es la que encontré por inspección.