Referencia para la construcción de Deligne de representaciones de Galois adjuntas a formas modulares

Question

Me preguntaba si alguien puede sugerir alguna buena referencia para aprender más sobre la construcción de Deligne de representaciones de Galois unidas a formas modulares. El artículo original de Deligne me resulta difícil de leer.

Answer 1

Estoy totalmente de acuerdo en que Deligne es muy escueto. Algo que al final me resultó muy útil son los dos artículos de Carayol en los que demuestra el teorema análogo para las formas modulares de Hilbert. Digo "en última instancia" porque me llevó mucho tiempo leer esos artículos. Volvía a ellos cada pocos años y aprendía más, a medida que maduraba matemáticamente. Los grandes problemas de usar Carayol para entender a Deligne serán: (1) Carayol tiene que esforzarse mucho más en algunas partes que Deligne, porque las curvas de Shimura que utiliza no son la solución a un problema de moduli de variedades abelianas más estructura extra, por lo que tiene que utilizar trucos extra en los que Deligne no tuvo que meterse, y esto ofuscará las cosas (supongo que quizás esto sea sólo al analizar la mala reducción de las curvas, que quizás no es el artículo que querrías leer de todos modos) y (2) Deligne tuvo que lidiar con el hecho de que las curvas modulares necesitan compactación, por lo que tuvo que trabajar con cohomología parabólica, que es un tecnicismo con el que tiene que lidiar y Carayol no. Pero en lo esencial, las técnicas son las mismas.

Answer 2

Tony Scholl tiene un artículo en el que amplía la construcción de Deligne de tal manera que explicar cómo construir motivos de Grothendieck unidos a eigenformas cuspidales. El enfoque principal del artículo de Scholl (si no recuerdo mal) es cómo tener en cuenta la necesidad de compactación de una forma motivacional precisa; aun así, ofrece una útil repetición de Deligne. En cualquier caso, dependiendo de sus dificultades particulares con Deligne, puede encontrar la presentación de Scholl de Scholl.

Answer 3

Jay Pottharst escribió un descripción breve : "En su famosa charla de Bourbaki, Deligne describió una receta para adjuntar representaciones de Galois -ádicas a formas modulares elípticas de peso integral al menos 2. Como consecuencia del método, se reduce la conjetura de Ramanujan-Petersson a la validez de la Hipótesis de Riemann de Weil para variedades sobre campos finitos. No parece existir ningún esquema breve y preciso de la receta de Deligne en circulación, y esta nota pretende cerrar este vacío en la literatura." Conc. Artículos de Carayol: Sus artículos me resultaron difíciles de leer, pero se aprende mucho de ellos.

Answer 4

Estas notas de Takeshi Saito también ofrecen una visión general muy útil: www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/eepr.pdf