La noción de hipercobertura (o hipercubierta) fue introducida por J.L. Verdier en SGA 4. En su definición, una hipercobertura $K_\bullet$ es un presheaf semisimplicial semirepresentable en un sitio $C$ tal que el morfismo canónico $K_{n+1}\to cosk_n(K_{n+1})$ es un "isomorfismo de cobertura de presheaves" para $n\geq 0$ y $K_0\to 1$ es un morfismo de cobertura ( $1$ es el objeto final en $Psh(C)$ ).
Esta debería ser más o menos la misma definición utilizada por Moerdijk en Clasificación de espacios y clasificación de topoi , página 17, al tratar los topoi de Grothendieck: una hipercubierta en un topos $\mathcal E$ es un objeto simplicial $X_\bullet$ en $\mathcal E$ tal que el mapa $X_\bullet\to 1$ es una "fibración local trivial" en el sentido de Quillen, Álgebra homotópica .
Ahora tengo problemas en conectar estas dos definiciones con la idea de una hipercubierta en el sitio \'etale de un esquema $X$ : esto debería ser un "recubrimiento generalizado", por lo que un esquema simplicial étale $U_\bullet$ s.t. $U_0\to X$ es una cobertura y para cada $n$ el morfismo canónico $U_{n+1}\to cosk_n(U_\bullet)_{n+1}$ es una cobertura. En este caso, un recubrimiento es simplemente un esquema suryectivo etéreo en $X$ .
Así que la cuestión es: la definición de Verdier y Moerdijk está en el nivel de las (pre)gavillas, es decir, de los topoi, mientras que la definición especial en el contexto étale parece estar en el nivel de los sitios. En realidad, es cierto que en la definición de Verdier todo es (semi)representable, por lo que no parecería tan extraño que, de hecho, estemos hablando al nivel del sitio. Pero esto no parece tan claro en la definición utilizada por Moerdijk, que es en realidad la más útil para tratar los topoi.
Gracias de antemano por cualquier ayuda contra esta confusión mía.
