¿Dónde está el $SU(2)$ ¿de dónde viene la simetría de isospín?

Question

¿Dónde está el $SU(2)$ isospin ¿de dónde viene la simetría? La interacción fuerte (nuclear) no distingue entre neutrones y protones. Sé que el neutrón y el protón forman un Isopin $SU(2)$ doblete. Pero tengo una duda. La interacción fuerte tiene $SU(3)_C$ simetría de color entre el campo de quarks y no $SU(2)$ . Entonces, ¿dónde está este $SU(2)$ ¿se ha creado un grupo? Por otra parte, ¿no está en el nivel de los quarks? ¿La simetría SU(2)-isopin de los quarks up y down da lugar a la simetría isopin entre neutrones y protones?

Answer 1

DomDoe's responder es la respuesta histórica, pero sospecho que mithusengupta123 puede estar preguntando realmente algo así como

Dada nuestra comprensión del Modelo Estándar de la física de partículas, ¿cómo es que la física de baja energía de los hadrones tiene una simetría de isospín aproximada?

1. El isospín que actúa sobre los quarks

Históricamente, el isospín se propuso como una simetría entre protones y neutrones. Un nucleón es un campo $N = (p, n)^T$ que es un doblete bajo SU(2) isospín. Equivalentemente, podemos definir el isospín en los quarks ligeros, colocando el up y el down en un doblete de isospín, $q = (u, d)^T$ .

Por adición de espín, un estado con dos quarks up y un quark down tiene isospín neto $I^3 = +1/2$ y por lo tanto esto es consistente con que el protón sea un $+1/2$ estado. De forma similar, con el neutrón que tiene isospín $-1/2$ .

2. La isospina no es exacta

La isospina no es una simetría exacta. Es una simetría aproximada. Se rompe por:

1. Las masas de los quarks. El quark up tiene una masa diferente a la del quark down. Del mismo modo, el protón tiene una masa diferente a la del neutrón.

2. También está roto mi electromagnetismo. Los quarks up y down tienen diferente carga eléctrica. Del mismo modo, el protón está cargado mientras que el neutrón es neutro.

En este sentido, la isospina es no una simetría. Es casi una simetría. ¿Qué queremos decir con casi ? Queremos decir que hay un pequeño parámetro adimensional sobre el que podemos expandirnos. Cuando hablamos de física hadrónica de baja energía, este parámetro es algo así como $(m_u - m_d)/\Lambda_\text{QCD}$ , donde $\Lambda_\text{QCD}$ es la escala de confinamiento (alternativamente se podría poner la masa del protón, que es aproximadamente del mismo orden de magnitud). El otro parámetro de expansión es $\alpha = 1/137$ . Ambos parámetros de expansión están en torno al nivel porcentual.

Esto significa que si tenemos un resultado que es verdadero en el límite exacto de la simetría de isospín, entonces el resultado real en la naturaleza es lo mismo hasta las correcciones a nivel de porcentaje. Además, podemos utilizar técnicas como la teoría de perturbaciones para resolver estas correcciones orden por orden.

3. La isospina en la práctica

¿Cómo se utiliza la isospina? Un ejemplo sencillo son los piones. Sabemos que los piones son estados ligados de dos quarks ligeros. Es decir, están en una representación de isospín que proviene del producto de dos dobletes. (Hay una sutileza aquí porque en realidad es un par quark-antiquark, ver por ejemplo esta pregunta ).) Sabemos que la combinación de dos dobletes SU(2) da un triplete y un singlete.

Experimentalmente, podemos identificar el triplete y el singlete como los tres piones y el $\eta$ respectivamente. Los tres piones están relacionados entre sí por la simetría de isospín, mientras que el $\eta$ es su propio objeto. En efecto, el $\eta$ es unas cuatro veces más pesado que los piones, que tienen aproximadamente la misma masa.

Por otro lado, los piones hacen no tienen la misma masa exacta. Los piones cargados tienen 140 MeV, mientras que el pión neutro tiene 135 MeV. Esta corrección de unos pocos puntos porcentuales en el límite exacto de isospín es precisamente el resultado de la división de masas de los quarks y de la discriminación electromagnética entre los estados cargados y neutros.

4. ¿De dónde viene la isospina?

Ahora vamos al quid de la cuestión: si conocemos el Modelo Estándar, ¿cómo entendemos que a bajas energías exista una simetría de isospín aproximada? ¿Cómo se relaciona esto con cualquiera de las otras simetrías del Modelo Estándar?

La respuesta es que la simetría de isospín es el resultado de la ruptura de la simetría quiral.

Imagina que escribes todas las partículas del Modelo Estándar sin ninguna interacción. Hay una simetría entre los quarks. $U(6)_L\times U(6)_R$ que hace girar los seis quarks de la mano izquierda por separado de los seis quarks de la mano derecha. (Recordemos de la teoría de la representación que los campos quirales izquierdo y derecho son, a priori, cosas completamente diferentes que pueden tener cargas diferentes). Esto es en realidad

Esta simetría se rompe con:

1. La fuerza electrodébil, que distingue entre los quarks quirales izquierdo y derecho. Además, coloca a los quarks zurdos en dobletes y distingue entre quarks diestros con cargas de tipo up y down.

2. Las interacciones de Yukawa con el Higgs, que (tras la ruptura de la simetría electrodébil) da diferentes masas a las combinaciones vectoriales de los quarks de la izquierda y la derecha. Esto combina los fermiones de Weyl en fermiones de Dirac.

Ignoremos la fuerza electrodébil: estos efectos vienen con acoplamientos electrodébiles que sabemos que son relativamente pequeños. Ciertamente, a bajas energías, cuando están mediadas por un fotón ( $\alpha = 1/137$ ) o un $W/Z$ bosón (contribuciones suprimidas a bajas energías porque son pesadas).

Entonces los términos de masa emparejan a los fermiones de la izquierda y de la derecha. Estos términos de masa se ven como $m_q \bar q_L q_R+\text{h.c.}$ . En primer lugar, supongamos que todos los quarks tienen la misma masa. Es decir, $m_q$ es universal. Entonces esto significa que nuestro original $U(6)_L\times U(6)_R$ la simetría se rompe para $U(6)_D$ , donde el $D$ significa diagonal. Si rotas entre los seis quarks zurdos, tienes que hacer una rotación compensatoria entre los seis quarks derechos para que el término de masa permanezca invariante.

Una vez que se activan las diferentes masas de cada quark, entonces este $U(6)_D$ se divide aún más en $U(1)^6$ que es, básicamente, el reajuste de cada tipo de quark.

Sabemos que hay una gran jerarquía en las masas de los quarks, así que en su mayor parte, esto se reduce a $U(1)^6$ la simetría es bastante rigurosa. Cada U(1) representa la conservación del up-ness, down-ness, strangeness, charm-ness, etc. (Sabemos que las interacciones del $W$ bosón violan éstas, pero por ahora ignoramos las interacciones electrodébiles). Sin embargo, la división de masas entre el quark up y el down es relativamente modesta... así que, de hecho, el up y el down tienen una aproximación $SU(2)$ simetría sobrante. (Estoy siendo descuidado con los factores U(1), se pueden volver a empaquetar en la conservación del número de bariones global y otras leyes de conservación). Este $SU(2)$ simetría es precisamente el isospín.

5. ¿Qué nos aporta esto?

¿Por qué es útil desde el punto de vista fundamental?

Sabemos cómo tratar la ruptura espontánea de la simetría. En particular, sabemos que la ruptura de la $SU(2)_L\times SU(2)_R$ subgrupo de $U(6)_L\times U(6)_R$ es una ruptura espontánea de una simetría aproximada. Por lo tanto, podemos describir las interacciones de los bosones de Goldstone de esta ruptura mediante el modelo sigma nonlinaer, hasta correcciones.

El poder de este punto de vista es que los piones se identifican con los bosones de Goldstone de $SU(2)_L\times SU(2)_R \to SU(2)_D$ . Sus interacciones entre sí son Previsto por el modelo sigma no lineal una vez que se define la escala a la que se rompe esta simetría. (Se trata de la constante de desintegración del pión, que está relacionada con la escala de ruptura de la simetría quiral por el condensado quiral de la QCD).

Se puede extender esto y decir que el quark extraño también está razonablemente cerca en masa del up y del down. Entonces se puede hablar de una aproximación $SU(3)_L\times SU(3)_R \to SU(3)_D$ rompiendo. En el límite en el que las masas de los tres quarks ligeros son degeneradas, entonces se pueden describir los bosones de Goldstone como un octeto de piones y kaones. Las interacciones entre estas partículas son todas predichas por el modelo sigma no lineal, hasta correcciones que son ahora un poco mayores que en el caso de isospín SU(2) puro.

Answer 2

El isospín se introdujo antes de que se desarrollara el modelo de los quarks. Como los quarks up y down tienen aproximadamente la misma masa y el mismo acoplamiento a la fuerza fuerte, esta simetría funciona bastante bien para los nucleones (protón $uud$ , neutrón $udd$ ). $SU(2)$ se propuso como analogía al giro regular. Trata el protón y el neutrón como dos estados diferentes (spin up, spin down) de la misma partícula (de ahí el $SU(2)$ ).

Tras la introducción del modelo de los quarks (en el que ya se observó que hay quarks mucho más pesados que el up/down), todos los demás quarks recibieron un isospín $0$ -para que sea únicamente una simetría de los quarks up/down ( $I_{3_{u/d}}=\pm \frac{1}{2}$ ).