Encontrar un espacio topológico $X$ que está conectado pero tiene tres componentes de trayectoria.

Question

¿Qué sería un espacio topológico conectado $X$ ¿se ve con tres componentes de trayectoria? Sé que como tiene un número finito de componentes de trayectoria, estos componentes son cerrados, pero no estoy seguro si eso ayuda.

Answer 1

Se pueden encontrar ejemplos como subespacios de $\mathbb{R}^n$ . Intenta aprovechar el hecho de que cualquier conjunto entre (en el sentido de contención) un conjunto conexo y su cierre -hasta el cierre mismo- es también conectado*. Puede darse el caso, cuando $n>1$ que el cierre de un camino conectado ( por lo tanto, conectado ) conjunto $X$ ya no está conectado a la trayectoria, lo que significa que podemos aumentar potencialmente el número total de componentes de la trayectoria al pasar de un conjunto conectado a su cierre. Posteriormente, existe la posibilidad de que podamos obtener aún más eliminando los puntos de los componentes de la ruta en $\overline{X} \setminus X$ y todo ello conservando la conectividad.

Por ejemplo, consideremos el conjunto conectado a la trayectoria $X = \left\{ \big(x, \sin(1/x) \big) \ | \ x \in (0, 1] \right\} \subset \mathbb{R}^2$ (véase el curva sinusoidal del topólogo ). ¿Qué es $\overline{X}$ ? Verá que $\overline{X}$ ya no está conectado a la trayectoria, ya que tiene dos componentes de trayectoria. Además, al eliminar puntos de $\overline{X} \setminus X$ podemos construir un conjunto $Y$ , donde $X \subset Y \subset \overline{X}$ , de tal manera que $Y$ tiene arbitrariamente muchos componentes de la ruta (incluso tantos como $\aleph_0$ o $\aleph_1$ ) sin dejar de estar conectado.

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*Para la prueba, véase la de Munkres Topología : Capítulo $3$ , teorema $23.4$

Answer 2

Lo siguiente es fácil de demostrar:

Proposición 1: Sea $X$ sea cualquier espacio topológico con una cadena decreciente anidada de subconjuntos abiertos no vacíos:

$\tag 1 U_0 \supset U_1 \supset \dots \supset U_n \supset \dots$

Dejemos que $\rho$ sea cualquier elemento que no esté en $X$ . Entonces la colección de conjuntos $\mathcal B$ definido por

$\tag 2 U \in \mathcal B \text{ iff [} U \text{ is open in } X \text{ or } U = U_n \cup \{\rho\} \text{]}$

forma una base topológica para el conjunto $\hat X = X \cup \{\rho\}$ .

Para el espacio topológico $\mathbb R$ podemos definir la cadena decreciente de conjuntos abiertos

$\tag 3 U_n = \mathbb R - \mathbb Z - \{x \in \mathbb R \, | \; |x| \lt n \}$

y por lo tanto puede crear el espacio $\hat {\mathbb R}$ como se muestra arriba, que también es un espacio de Hausdorff.

Proposición 2: El espacio $\hat {\mathbb R}$ está conectada con dos componentes del camino.
Prueba
Es fácil argumentar que cualquier clopen que contenga $\rho$ es todo $\hat{\mathbb X}$ , por lo que tenemos un espacio conectado.

Demostramos que si $\gamma$ es cualquier ruta con $\gamma(0) \in \mathbb R$ entonces la imagen $\gamma([0,1])$ también se encuentra en $\mathbb R$ . Recordemos que la imagen cualquier camino está conectado.

Si no, hay un mapa $\gamma^{'}$ con $\gamma^{'}([0,1)) \subset (n, n+1)$ y $\gamma^{'}(1) = \rho$ . Pero para las funciones continuas la imagen del cierre está contenida en el cierre de la imagen, sin embargo $\rho \notin [n, n+1]$ . $\qquad \blacksquare$

Sean dados dos ejemplares disjuntos $\mathbb R_1$ y $\mathbb R_2$ de la recta numérica y tomar $\mathbb X$ para ser la suma disjunta de estos espacios. Ahora definiremos una cadena decreciente ${\mathbb U}_n$ de conjuntos abiertos en $\mathbb X$ . Para $i \in \{1,2\}$ , set

$\tag 4 {U_n}^i = \mathbb R_i - \mathbb Z_i - \{x \in \mathbb R_i \, | \; |x| \lt n \}$

y

$\tag 5 {\mathbb U}_n = {U_n}^1 \sqcup {U_n}^2$

Así que por la proposición 1 tenemos un espacio $\hat{\mathbb X}$ .

Proposición 3: El espacio $\hat{\mathbb X}$ está conectada con tres componentes del camino.
Prueba
Que un camino $\gamma: [0,1] \to \hat{\mathbb X}$ y supongamos que, por ejemplo, $\gamma(0) \in \mathbb R_1$ . Por continuidad, hay un $a \gt 0$ tal que la imagen del intervalo $[0,a)$ en $\gamma$ está contenida en $\mathbb R_1$ . Si $\gamma$ mapea cualquier punto fuera de $\mathbb R_1$ entonces hay un mapa $\gamma^{'}$ con $\gamma^{'}([0,1))$ contenida en $\mathbb R_1$ y $\gamma^{'}(1) \in \mathbb R_2 \cup \{\rho\}$ . Pero entonces en cualquiera de los casos podemos obtener una contradicción. $\qquad \blacksquare$

Este argumento puede extenderse para mostrar que podemos construir un espacio conectado con un número arbitrario de componentes de camino (Kaj Hansen también lo señala). En esta construcción, exactamente un componente del camino es un conjunto único.