Cálculo de la abscisa de convergencia para series generales de Dirichlet

Question

Actualmente estoy interesado en demostrar este teorema que he estado pensando durante bastante tiempo:

Definir una serie de Dirichlet $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k e^{-\lambda_k z}$$ donde $\lambda_k$ es una secuencia estrictamente creciente y $z \in \mathbb{C}$ .

Me interesa demostrar que si la abscisa de convergencia $\sigma_c <0$ entonces $$\sigma_c = \eta := \limsup_{n \to \infty} \frac{\log |R_n|}{\lambda_n}$$ donde $R_n= \sum_{k=n+1}^{\infty}a_k$ .

¿Alguien tiene alguna idea de cómo empezar? Estoy bastante atascado después de intentar utilizar la transformación de Abel como en la prueba para cuando $\sum a_k$ es divergente.

Answer 1

@NickStrehlke Esta es la parte para $\sigma_c \geq \eta$ .

Dejemos que $s\leq 0$ se fije para que la serie converja en $s$ . Definir $B_n=\sum_{k=1}^{n}a_k e^{-\lambda_k s}$ . Tenemos $a_k e^{-\lambda_k s}=B_k - B_{k-1}$ . Obsérvese que como la serie converge en $s$ las sumas parciales de $B_n$ convergen. Por lo tanto, las sumas parciales de $B_n$ están acotados, es decir, existe alguna constante $M>0$ tal que $|B_n|\leq M$ para todos $n$ . Ahora,

\begin{align} |R_n| \notag &=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k e^{-\lambda_k s} \cdot e^{\lambda_k s} \right| \\ \notag &=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty} [B_k - B_{k-1}] e^{\lambda_k s} \right| \\ \notag &= |[B_{n+1}-B_n]e^{\lambda_{n+1} s}+[B_{n+2}-B_{n+1}]e^{\lambda_{n+2} s}+...| \\ \notag &= |-B_n e^{\lambda{n+1} s}+\sum_{k=n+1}^{\infty} B_k (e^{\lambda_k s}-e^{\lambda_{k+1} s})| \\ \notag &\leq |B_n e^{\lambda_{n+1} s}|+\sum_{k=n+1}^{\infty} |B_k|(e^{\lambda_k s}-e^{\lambda_{k+1} s}) \\ \notag &\leq Me^{\lambda_{n+1} s}+M\sum_{k=n+1}^{\infty}(e^{\lambda_k s}-e^{\lambda_{k+1} s}) \end{align} Si $s=0$ entonces $$\frac{\log |R_n|}{\lambda_n} \leq \frac{\log M}{\lambda_n}.$$ Tomando el límite superior en ambos lados de la desigualdad, obtenemos $$\eta=\limsup_{n \to \infty} \frac{\log |R_n|}{\lambda_n} \leq \limsup_{n \to \infty} \frac{\log M}{\lambda_n}=0=s.$$ Si $s<0$ entonces $$\sum_{k=n+1}^{\infty}(e^{\lambda_k s}-e^{\lambda_{k+1} s})=e^{\lambda_{n+1}s},$$ y porque $(\lambda_n)$ es estrictamente creciente, $$|R_n|\leq 2Me^{\lambda_{n+1}s} < 2Me^{\lambda_n s}.$$ Entonces tenemos $$\eta=\limsup_{n \to \infty} \frac{\log |R_n|}{\lambda_n} \leq \limsup_{n \to \infty} \frac{\log 2M}{\lambda_n}+s=s,$$ lo que implica que $\eta \leq s$ . Desde $\sigma_c = \inf s$ , $\eta \leq \sigma_c$ .

Answer 2

Pido disculpas por el retraso en escribir esto. Aquí hay una prueba de la desigualdad restante (la que no se ha demostrado en su respuesta, ireallydonknow). Como mencioné en un comentario, esta prueba es una simple aplicación de las ideas que se encuentran en la página 7 del libro de Hardy & M. Riesz La teoría general de las series de Dirichlet . He aquí algunas observaciones (en su mayoría parafraseando ese libro) para aclarar la importancia de estas fórmulas para otras personas que se tropiecen con esta cuestión y se pregunten por su motivación. Básicamente, esta fórmula es un análogo de la prueba de raíz para la convergencia de una serie de potencias (de hecho, en el caso $\lambda_n = n$ las dos pruebas coinciden). Sin embargo, la situación es mucho más sutil en el contexto de las series de Dirichlet: una serie de potencias converge absolutamente o diverge, excepto posiblemente en un subconjunto de un solo círculo, donde puede converger condicionalmente (aunque creo que ese subconjunto puede ser bastante complicado); una serie de Dirichlet, en cambio, puede converger condicionalmente (y no absolutamente) en una franja o incluso en todo el plano. Hardy y Riesz, por ejemplo, dan como ejemplo en la página 9 la serie $\Sigma (-1)^n (\log n)^{-s}/\sqrt{n}$ .

Con esto, permítanme pasar a la prueba que mencioné en los comentarios. De entrada, permítanme decir que su fórmula está ligeramente fuera de lugar, ya que el $\lambda_n$ que aparece en la definición de $\eta$ debería ser realmente $\lambda_{n+1}$ . Para ser completamente precisos, supongamos que $\sigma_c\leq 0$ y poner \begin{align*} R_n = \sum_{k = n+1}^\infty a_k, \quad \eta = \limsup_{n\to\infty} {\log |R_n|\over \lambda_{n+1}};\tag{1} \end{align*} entonces $\eta = \sigma_c$ . Verás que la prueba dada en tu propia respuesta, ireallydonknow, se lleva perfectamente con $\eta$ definido como en $(1)$ y muestra que en estas circunstancias $\sigma_c\geq \eta$ . El propósito de esta respuesta, entonces, es demostrar la desigualdad inversa $\sigma_c\leq \eta$ . Esta desigualdad inversa se probará si se puede demostrar que la serie de Dirichlet $\Sigma a_k e^{-\lambda_k s}$ converge siempre que $s$ es un número real estrictamente mayor que $\eta$ y eso es lo que vamos a mostrar.

Así, supongamos que $s>\eta$ Además, podemos suponer que $s<0$ ya que por hipótesis $\sigma_c\leq 0$ . Una implicación tautológica de la definición $(1)$ de $\eta$ es que $\log{|R_n|} \leq \lambda_{n+1}(\eta + o(1))$ como $n\to\infty$ y así $|R_n| \leq e^{\lambda_{n+1}(\eta + o(1))}$ . Ahora utilice la suma por partes para escribir (estoy denotando por $A$ la suma $\Sigma a_k$ ) \begin{align*} \sum_{k=1}^n a_k e^{-\lambda_k s} &= \sum_{k = 1}^n (R_{k-1} - R_k) e^{-\lambda_k s} \\ &= Ae^{-\lambda_1 s} - R_n e^{-\lambda_n s} + \sum_{k=2}^{n-1} R_k \left( e^{-\lambda_{k+1} s} - e^{-\lambda_k s}\right). \end{align*} Primero, $R_n e^{-\lambda_n s} \to 0$ como $n\to \infty$ : \begin{align*} \log{|R_n|} - \lambda_n s < \log{|R_n|} - \lambda_{n+1} s \leq \lambda_{n+1}(\eta + o(1) - s) \to -\infty \quad \text{as $n\to\infty$,} \end{align*} utilizando $\eta - s<0$ et $\lambda_{n+1}\to\infty$ para la relación de límite al final. La primera desigualdad se basa en $s<0$ et $\lambda_n<\lambda_{n+1}$ para concluir $-\lambda_n s<-\lambda_{n+1} s$ .

Ahora estamos reducidos a mostrar que $\Sigma R_k (e^{-\lambda_{k+1} s} - e^{-\lambda_k s})$ converge. (Esta es la parte en la que realmente necesitamos mi definición $(1)$ de $\eta$ en lugar de la suya). En realidad, la suma converge absolutamente. Para ver esto, seguimos el ejemplo de Hardy y Riesz y acotamos el término general como sigue: \begin{align*} |R_k| (e^{-\lambda_{k+1} s} - e^{-\lambda_k s}) &\leq e^{\lambda_{k+1}(\eta + o(1))} (e^{-\lambda_{k+1} s} - e^{-\lambda_k s}) \\ & \leq |s| (\lambda_{k+1} - \lambda_k) e^{\lambda_{k+1}(\eta - s + o(1))}\\ &\leq |s| \int_{\lambda_k}^{\lambda_{k+1}} e^{x(\eta - s + o(1))}\,dx \end{align*} proporcionado $k$ es lo suficientemente grande como para que $\eta - s + o(1) < 0$ . Obsérvese que utilizamos mi definición $(1)$ de $\eta$ para obtener la tercera desigualdad, porque nos basamos en $\lambda_{k+1}$ en el factor exponencial que surge en el límite de $|R_k|$ la definición de la pregunta llevaría a $\lambda_k$ lo que no es suficiente para que se cumpla la tercera desigualdad. De todos modos, las integrales son sumables, y la prueba está terminada.