$f(yf(x) + y) = xy + f(y)$ para todos $x, y.$ Prueba $f$ es surjetivo

Question

Llevo días con este problema. f es una función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ se satisface:

$$f(yf(x) + y) = xy + f(y) \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Prueba $f$ es suryente, y por lo tanto encontrar todas las funciones satisfacen esta ecuación.

Creo que arreglar un $x$ y $y$ como una constante y estudiar la función podría ser una buena idea, pero hasta ahora sólo he estado jugando con $x=1,0$ y $y=1,0,$ y no parecen ayudar a demostrar la subjetividad.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

(Probar la inyectividad es fácil)

Answer 1

Dejemos que $f(1)=a$ . A continuación, ajuste $y=1$ obtenemos $$ f\big(f(x) + 1\big) = x + a, \quad \text{for all $ x\in\mathbb R $}, $$ lo que implica que $$ f\big(f(x-a) + 1\big) = x, \quad \text{for all $ x\in\mathbb R $}. $$

Answer 2

Lema (1): $f(f(x)+1) = x+f(1)$ .

Demostración del lema (1) : sea $y = 1$ .

Lema (2): $f$ es inyectiva.

Prueba del lema (2) por contradicción: si $x \neq y$ y $f(x) = f(y)$ entonces

$f(f(x)+1) = f(f(y)+1) = x = y$ que se contradice con $x \neq y$ .

Lema (3): $f$ es suryente:

Prueba del lema (3): Por el lema (1), $f(f(x-f(1))+1) = x - f(1) + f(1) = x$ .

Lema (4): $f(0) = 0$ .

Prueba del lema (4): Por el lema (1):

$f(f(0)+1) = f(1)$ .

Por la inyectividad de $f$ , $f(0) + 1 = 1$ entonces $f(0) = 0$ .

Me quedé en probar $f(1) = 1$ ...

Answer 3

En primer lugar, observe que al definir $ g(x,y)=yf(x)+y$ y utilizando la inyectividad que has encontrado, entonces $f \circ g(0,y) $ se puede encontrar que f(0)=0.
Ahora, encuentra (1,y) s.t $f \circ g (1,y)$ no es 0, digamos C.
Supongamos negativamente que existe un número real $M_0$ s.t $ M_0 $ no está en Im(f).
$ f \circ g (1,y) = f(y) +y $
Obsérvese que en este caso (por la igualdad dada) , para cualquier $ y \in \mathbb{R} $ , $M_0 +y $ no está en Im(f)- para contradecirlo, toma $y=c-M_0$