No estoy seguro de si $[a, a]$ cuenta como un intervalo, así que lo dejaré fuera. Si se trata de una pregunta de tarea, supongo que se le dará el crédito correspondiente.
Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los intervalos de la forma $[0, a]$ o $[-a, 0]$ donde $a \in \mathbb{Q}$ y $a > 0$ . Cada intervalo $[a, b]$ con $a, b \in \mathbb{Q}$ y $a < b$ equivale a una suma o diferencia de elementos de $S$ .
$$[a, b] \equiv \left\lbrace\begin{array}{lr} [0, b] - [0, a] & \text{if } 0 < a < b, \\ [a, 0] + [0, b] & \text{if } a < 0 < b, \\ [a, 0] - [b, 0] & \text{if } a < b < 0. \end{array}\right. $$
Por lo tanto, la imagen de $S$ en $B$ que denotamos como $\overline{S}$ , es un conjunto de extensión para $B$ . Queda por demostrar que $\overline{S}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb{Z}$ .
Para cualquier $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ , defina $\pi_x([a,b])$ de la siguiente manera: $$ \pi_x([a, b]) = \left\lbrace\begin{array}{lr} 1 & \text{if } x\in [a, b],\\ 0 & \text{if } x\not\in [a, b]. \end{array}\right. $$ Esta función se extiende a un homomorfismo único de $A$ a $\mathbb{Z}$ . También induce un homomorfismo $\overline{\pi}_x$ de $B$ a $\mathbb{Z}$ , ya que preserva las relaciones definitorias.
Supongamos que $\overline{S}$ no es linealmente independiente. Entonces existe una relación lineal no trivial con un número mínimo de términos:
$$\sum_{i=1}^m c_i [a_i, 0] + \sum_{j=1}^n d_j [0, b_j] \equiv 0,$$ donde $0 \ne c_i \in \mathbb{Z}$ , $0 \ne d_j \in \mathbb{Z}$ y $$a_1 < \cdots < a_m < 0 < b_1 < \cdots b_n.$$ Se permite que $m = 0$ o $n = 0$ pero no ambos.
Suponiendo que $n \neq 0$ , elija $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ para que $0 < x < b_n$ pero $x > b_{n-1}$ si $n>1$ . Aplicando el homomorfismo $\overline{\pi}_x$ da $$\sum_{i=1}^m c_i\,\pi_x([a_i, 0]) + \sum_{j=1}^n d_j\,\pi_x([0, b_j]) = 0$$ lo que implica que $d_n = 0$ lo cual es una contradicción. Un argumento similar se aplica si $m \ne 0$ .
