Demuestre que los anillos $2\mathbb{Z}$ y $3\mathbb{Z}$ no son isomorfas.

Question

Aquí tengo la impresión de que $2\mathbb Z$ y $3\mathbb Z$ son los conjuntos de números pares y múltiplos de $3$ respectivamente y las operaciones son la suma y la multiplicación habituales. Este es un ejercicio de Fraleigh Álgebra abstracta . Creo que $2\mathbb Z$ y $3\mathbb Z$ son isomorfos como grupos en adición. Empecé una prueba suponiendo que había un isomorfismo de anillos, $f$ con la esperanza de encontrar una contradicción con $f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)$ .

Answer 1

En $2\mathbb Z$ existe un generador $a$ del grupo aditivo tal que $a+a=x^2$ tiene una solución. Este no es el caso de $3\mathbb Z$ .

Answer 2

Sugerencia Un isomorfismo de anillo es en particular un isomorfismo del grupo abeliano subyacente bajo adición, pero los grupos abelianos $n \Bbb Z$ , $n > 0$ tienen sólo dos automorfismos; utilizando esto se puede demostrar que sólo hay dos isomorfismos (de grupos abelianos) $n \Bbb Z \to m \Bbb Z$ para cualquier $n, m > 0$ .