Consideremos la EDO $y'=2\sqrt{|y|}$ donde $y \in \mathbb{R}$

Question

Demuestre que hay muchas soluciones para la EDO $y'=2\sqrt{|y|}$ con condiciones iniciales $y(0)= 0$ .

Más adelante en la pregunta, me pide que encuentre todas las soluciones con condición inicial $y(0)=0$ así que no creo que eso sea lo que deba hacer aquí.

Está mostrando $y(t) = 0$ y $y(t) = t^2$ ambos resuelven la EDO respondiendo esencialmente a la pregunta? ¿O son realmente la misma solución?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Las soluciones de la ecuación diferencial $y'=2\sqrt{|y|}$ tal que $y(0)=0$ son las funciones $y_{a,b}$ , indexado por $a$ y $b$ en $[0,+\infty]$ , de tal manera que $$y_{a,b}(t)=\left\{\begin{array}{ccl}-(t+a)^2&\text{if}&t\lt-a\\0&\text{if}&-a\lt t\lt b\\(t-b)^2&\text{if}&t\gt b\end{array}\right.$$ En palabras, se parte de la gráfica de la función $y_{0,0}:t\mapsto\mathrm{sgn}(t)\cdot t^2$ y uno traduce la parte derecha $t\geqslant0$ del gráfico más a la derecha, a una distancia finita o infinita $b$ y la parte izquierda $t\leqslant0$ del gráfico más a la izquierda, a una distancia finita o infinita $a$ . Por ejemplo, $$y_{\infty,0}(t)=\left\{\begin{array}{ccl}0&\text{if}&t\leqslant0\\ t^2&\text{if}&t\gt 0\end{array}\right.$$

Answer 2

Creo que tus ejemplos responden a la primera pregunta. Si hay que demostrar que hay muchas soluciones, creo que basta con demostrar que hay más de una.

Para la segunda pregunta tendrías que demostrar que esos son realmente los sólo posibles soluciones - que hay ninguna otra solución Así que es no suficiente para demostrar que su ejemplo satisface la EDO.